Statika. Ravnoteža mehaničkog sistema (apsolutno kruto tijelo). Uslov ravnoteže za mehanički sistem u generalizovanim koordinatama Pogledajte šta je "mehanička ravnoteža" u drugim rečnicima

Ravnoteža mehaničkog sistema je stanje u kojem sve tačke sistema koji se razmatra miruju u odnosu na odabrani referentni sistem.

Moment sile oko bilo koje ose je proizvod veličine ove sile F na kraku d.

Uslove ravnoteže najlakše je saznati na primjeru najjednostavnijeg mehaničkog sistema - materijalne tačke. Prema prvom zakonu dinamike (vidi Mehanika), uslov mirovanja (ili ravnomernog linearnog kretanja) materijalne tačke u inercijalnom koordinatnom sistemu je da je vektorski zbir svih sila primenjenih na nju jednak nuli.

Prilikom prelaska na složenije mehaničke sisteme, samo ovo stanje nije dovoljno za njihovu ravnotežu. Pored translacionog kretanja, koje je uzrokovano nekompenziranim vanjskim silama, složeni mehanički sistem može biti podvrgnut rotacijskom kretanju ili deformaciji. Hajde da saznamo uslove ravnoteže za apsolutno kruto telo - mehanički sistem koji se sastoji od skupa čestica, međusobne udaljenosti između kojih se ne menjaju.

Mogućnost translacionog kretanja (sa ubrzanjem) mehaničkog sistema može se eliminisati na isti način kao u slučaju materijalne tačke, zahtevajući da zbir sila primenjenih na sve tačke sistema bude jednak nuli. Ovo je prvi uslov za ravnotežu mehaničkog sistema.

U našem slučaju, čvrsto tijelo se ne može deformirati, jer smo se dogovorili da se međusobne udaljenosti između njegovih tačaka ne mijenjaju. Ali za razliku od materijalne tačke, par jednakih i suprotno usmerenih sila može se primeniti na apsolutno kruto telo u različitim tačkama. Štaviše, budući da je zbir ove dvije sile nula, mehanički sistem koji se razmatra neće vršiti translacijsko kretanje. Međutim, očito je da će pod utjecajem takvog para sila tijelo početi rotirati u odnosu na određenu os sa sve većom ugaonom brzinom.

Do pojave rotacionog kretanja u razmatranom sistemu dolazi zbog prisustva nekompenzovanih momenata sila. Moment sile oko bilo koje ose je proizvod veličine ove sile $F$ po kraku $d,$ tj. dužini okomice spuštene iz tačke $O$ (vidi sliku) kroz koju os prolazi , prema smjeru sile . Imajte na umu da je moment sile u ovoj definiciji algebarska veličina: smatra se pozitivnim ako sila vodi do rotacije u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim u suprotnom. Dakle, drugi uslov za ravnotežu krutog tijela je zahtjev da zbir momenata svih sila u odnosu na bilo koju os rotacije bude jednak nuli.

U slučaju kada su oba pronađena uslova ravnoteže ispunjena, čvrsto tijelo će mirovati ako su u trenutku kada su sile počele djelovati, brzine svih njegovih tačaka bile jednake nuli. U suprotnom će vršiti ravnomjerno kretanje po inerciji.

Razmatrana definicija ravnoteže mehaničkog sistema ne govori ništa o tome šta će se dogoditi ako se sistem malo pomeri iz svog ravnotežnog položaja. U ovom slučaju postoje tri mogućnosti: sistem će se vratiti u svoje prethodno stanje ravnoteže; sistem, uprkos odstupanju, neće promeniti svoje ravnotežno stanje; sistem će izaći iz ravnoteže. Prvi slučaj se naziva stabilnim stanjem ravnoteže, drugi - ravnodušnim, treći - nestabilnim. Priroda ravnotežnog položaja određena je ovisnošću potencijalne energije sistema o koordinatama. Na slici su prikazana sva tri tipa ravnoteže na primjeru teške lopte koja se nalazi u udubini (stabilna ravnoteža), na glatkom horizontalnom stolu (indiferentna), na vrhu tuberkula (nestabilna).

Gore navedeni pristup problemu ravnoteže mehaničkog sistema razmatrali su naučnici još u antičkom svijetu. Dakle, zakon ravnoteže poluge (tj. krutog tijela sa fiksnom osom rotacije) pronašao je Arhimed u 3. vijeku. BC e.

Johann Bernoulli je 1717. razvio potpuno drugačiji pristup pronalaženju ravnotežnih uslova mehaničkog sistema - metodu virtuelnih pomeranja. Zasniva se na svojstvu reakcionih sila veze koje proizilaze iz zakona održanja energije: uz malo odstupanje sistema od ravnotežnog položaja, ukupan rad reakcionih sila veze je nula.

Prilikom rješavanja problema statike (vidi Mehanika) na osnovu gore opisanih uvjeta ravnoteže, veze koje postoje u sistemu (oslonci, navoji, šipke) karakteriziraju reakcione sile koje u njima nastaju. Potreba da se ove sile uzmu u obzir pri određivanju uslova ravnoteže u slučaju sistema koji se sastoje od više tela dovodi do glomaznih proračuna. Međutim, zbog činjenice da je rad reakcijskih sila veze jednak nuli za mala odstupanja od ravnotežnog položaja, moguće je u potpunosti izbjeći razmatranje ovih sila.

Osim reakcionih sila, na tačke mehaničkog sistema djeluju i vanjske sile. Koliki je njihov rad za malo odstupanje od ravnotežnog položaja? Pošto je sistem u početku u mirovanju, za svaki pokret je potrebno izvršiti neki pozitivan rad. U principu, ovaj rad mogu obavljati i vanjske sile i sile reakcije veze. Ali, kao što već znamo, ukupan rad reakcionih snaga je nula. Dakle, da bi sistem izašao iz stanja ravnoteže, ukupan rad vanjskih sila za bilo koji mogući pomak mora biti pozitivan. Posljedično, uvjet nemogućnosti kretanja, odnosno uvjet ravnoteže, može se formulirati kao zahtjev da ukupni rad vanjskih sila ne bude pozitivan za bilo koje moguće kretanje: $ΔA≤0.$

Pretpostavimo da je prilikom pomeranja tačaka sistema $Δ\overrightarrow(γ)_1…\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ zbir rada spoljnih sila bio jednak $ΔA1.$ I šta se dešava ako sistem pravi pokrete $−Δ\overrightarrow(γ)_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ Ova kretanja su moguća na isti način kao i prva; međutim, rad vanjskih sila će sada promijeniti predznak: $ΔA2 =−ΔA1.$ Slično kao u prethodnom slučaju, doći ćemo do zaključka da sada uvjet ravnoteže sistema ima oblik: $ΔA1≥0,$ tj. rad vanjskih sila mora biti nenegativan. Jedini način da se „pomire“ ova dva gotovo kontradiktorna uslova je da se zahteva tačna jednakost sa nulom ukupnog rada spoljnih sila za bilo koje moguće (virtuelno) kretanje sistema iz ravnotežnog položaja: $ΔA=0.$ Po mogućim (virtuelno) kretanje ovde podrazumevamo infinitezimalno mentalno kretanje sistema, koje nije u suprotnosti sa vezama koje su mu nametnute.

Dakle, stanje ravnoteže mehaničkog sistema u obliku principa virtuelnih pomaka je formulisano na sledeći način:

„Za ravnotežu bilo kojeg mehaničkog sistema sa idealnim vezama, neophodno je i dovoljno da zbir elementarnih radova sila koje deluju na sistem za bilo koje moguće pomeranje bude jednak nuli.”

Koristeći princip virtualnih pomaka, rješavaju se problemi ne samo statike, već i hidrostatike i elektrostatike.

DEFINICIJA

Stabilna ravnoteža- ovo je ravnoteža u kojoj se tijelo, uklonjeno iz ravnotežnog položaja i prepušteno samom sebi, vraća u prethodni položaj.

To se događa ako, uz blagi pomak tijela u bilo kojem smjeru od prvobitnog položaja, rezultanta sila koje djeluju na tijelo postane različita od nule i bude usmjerena prema ravnotežnom položaju. Na primjer, lopta koja leži na dnu sferne depresije (slika 1 a).

DEFINICIJA

Nestabilna ravnoteža- ovo je ravnoteža u kojoj će tijelo, izvađeno iz ravnotežnog položaja i prepušteno samome sebi, još više odstupiti od ravnotežnog položaja.

U ovom slučaju, uz blagi pomak tijela iz ravnotežnog položaja, rezultanta sila primijenjenih na njega nije nula i usmjerena je iz ravnotežnog položaja. Primjer je lopta koja se nalazi u gornjoj tački konveksne sferne površine (slika 1 b).

DEFINICIJA

Indiferentna ravnoteža- ovo je ravnoteža u kojoj tijelo, izvađeno iz ravnotežnog položaja i prepušteno samom sebi, ne mijenja svoj položaj (stanje).

U ovom slučaju, uz male pomake tijela od prvobitnog položaja, rezultanta sila primijenjenih na tijelo ostaje jednaka nuli. Na primjer, lopta koja leži na ravnoj površini (slika 1c).

Fig.1. Različite vrste ravnoteže tijela na osloncu: a) stabilna ravnoteža; b) nestabilna ravnoteža; c) indiferentna ravnoteža.

Statička i dinamička ravnoteža tijela

Ako, kao rezultat djelovanja sila, tijelo ne dobije ubrzanje, ono može mirovati ili se kretati jednoliko pravolinijski. Stoga možemo govoriti o statičkoj i dinamičkoj ravnoteži.

DEFINICIJA

Statička ravnoteža- ovo je ravnoteža kada pod uticajem primenjenih sila telo miruje.

Dinamička ravnoteža- radi se o ravnoteži kada, usled dejstva sila, telo ne menja svoje kretanje.

Lanterna okačena na kablove, ili bilo koja građevinska konstrukcija, nalazi se u stanju statičke ravnoteže. Kao primjer dinamičke ravnoteže, razmotrite točak koji se kotrlja po ravnoj površini u odsustvu sila trenja.

Ravnoteža mehaničkog sistema- ovo je stanje u kojem sve tačke mehaničkog sistema miruju u odnosu na referentni sistem koji se razmatra. Ako je referentni okvir inercijalan, naziva se ravnoteža apsolutno, ako je neinercijalno - relativno.

Da bi se pronašli ravnotežni uslovi apsolutno krutog tijela, potrebno ga je mentalno razbiti na veliki broj prilično malih elemenata, od kojih svaki može biti predstavljen materijalnom tačkom. Svi ovi elementi međusobno djeluju - te sile interakcije se nazivaju interni. Osim toga, vanjske sile mogu djelovati na brojne tačke na tijelu.

Prema drugom Newtonovom zakonu, da bi ubrzanje tačke bilo nula (a ubrzanje tačke koja miruje bila nula), geometrijski zbir sila koje djeluju na tu tačku mora biti nula. Ako tijelo miruje, tada sve njegove tačke (elementi) također miruju. Dakle, za bilo koju tačku tijela možemo napisati:

gdje je geometrijski zbir svih vanjskih i unutrašnjih sila koje djeluju i elementa tela.

Jednačina znači da je da bi tijelo bilo u ravnoteži potrebno i dovoljno da geometrijski zbir svih sila koje djeluju na bilo koji element ovog tijela bude jednak nuli.

Iz ovoga je lako dobiti prvi uslov za ravnotežu tela (sistema tela). Da biste to učinili, dovoljno je zbrojiti jednačinu za sve elemente tijela:

.

Drugi zbir je jednak nuli prema trećem Newtonovom zakonu: vektorski zbir svih unutrašnjih sila sistema jednak je nuli, jer bilo kojoj unutrašnjoj sili odgovara sila jednaka po veličini i suprotnog smjera.

dakle,

.

Prvi uslov za ravnotežu krutog tijela(sistemi tijela) je jednakost nuli geometrijskog zbira svih vanjskih sila primijenjenih na tijelo.

Ovaj uslov je neophodan, ali nije dovoljan. To je lako provjeriti prisjećanjem rotacionog djelovanja para sila, čiji je geometrijski zbir također nula.

Drugi uslov za ravnotežu krutog tijela je jednakost nule zbira momenata svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo u odnosu na bilo koju osu.

Dakle, ravnotežni uslovi krutog tijela u slučaju proizvoljnog broja vanjskih sila izgledaju ovako:

.

Ovo predavanje pokriva sljedeća pitanja:

1. Uslovi za ravnotežu mehaničkih sistema.

2. Stabilnost ravnoteže.

3. Primjer određivanja ravnotežnih položaja i proučavanja njihove stabilnosti.

Proučavanje ovih pitanja neophodno je za proučavanje oscilatornih kretanja mehaničkog sistema u odnosu na ravnotežni položaj u disciplini „Dijelovi mašina“, za rješavanje zadataka u disciplinama „Teorija mašina i mehanizama“ i „Čvrstoća materijala“.

Važan slučaj kretanja mehaničkih sistema je njihovo oscilatorno kretanje. Oscilacije su ponovljena kretanja mehaničkog sistema u odnosu na neke od njegovih pozicija, koja se javljaju manje-više redovno tokom vremena. Predmetni rad ispituje oscilatorno kretanje mehaničkog sistema u odnosu na ravnotežni položaj (relativan ili apsolutan).

Mehanički sistem može oscilirati dovoljno dugo samo blizu stabilnog ravnotežnog položaja. Stoga je prije sastavljanja jednadžbi oscilatornog kretanja potrebno pronaći ravnotežne položaje i proučiti njihovu stabilnost.

Uslovi ravnoteže za mehaničke sisteme.

Prema principu mogućih pomaka (osnovna jednačina statike), da bi mehanički sistem na koji su nametnuta idealna, stacionarna, ograničavajuća i holonomska ograničenja bio u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da sve generalizovane sile u ovom sistemu biti jednak nuli:

Gdje - odgovarajuća generalizovana sila j- o generalizirana koordinata;

s- broj generalizovanih koordinata u mehaničkom sistemu.

Ako su diferencijalne jednadžbe gibanja sastavljene za sistem koji se proučava u obliku Lagrangeovih jednačina druge vrste, tada je za određivanje mogućih ravnotežnih položaja dovoljno generalizirane sile izjednačiti sa nulom i riješiti rezultirajuće jednadžbe u odnosu na generalizirane koordinate.

Ako je mehanički sistem u ravnoteži u polju potencijalne sile, onda iz jednačina (1) dobijamo sledeće uslove ravnoteže:

Stoga, u ravnotežnom položaju, potencijalna energija ima ekstremnu vrijednost. Ne može se praktično ostvariti svaka ravnoteža određena gornjim formulama. U zavisnosti od ponašanja sistema kada odstupa od ravnotežnog položaja, govori se o stabilnosti ili nestabilnosti ovog položaja.

Stabilnost ravnoteže

Definicija koncepta stabilnosti ravnotežnog položaja data je krajem 19. stoljeća u radovima ruskog naučnika A. M. Lyapunova. Pogledajmo ovu definiciju.

Da bismo pojednostavili proračune, dodatno ćemo se dogovoriti oko generaliziranih koordinata q 1 , q 2 ,...,q s računati od ravnotežnog položaja sistema:

Gdje

Za ravnotežni položaj se kaže da je stabilan ako je za bilo koji proizvoljno mali brojmozes li naci drugi broj? , to u slučaju kada početne vrijednosti generaliziranih koordinata i brzina neće prelaziti:

vrijednosti generaliziranih koordinata i brzina tijekom daljeg kretanja sistema neće premašiti .

Drugim riječima, ravnotežni položaj sistema q 1 = q 2 = ...= q s = 0 se poziva održivo, ako je uvijek moguće pronaći tako dovoljno male početne vrijednosti, pri čemu je kretanje sistemaneće ostaviti nijednu datu, proizvoljno malu, okolinu ravnotežnog položaja. Za sistem sa jednim stepenom slobode, stabilno kretanje sistema može se jasno prikazati u faznoj ravni (slika 1).Za stabilan položaj ravnoteže, kretanje reprezentativne tačke, počevši od regiona [ ] , neće ići dalje od regiona u budućnosti.

Fig.1

Položaj ravnoteže se naziva asimptotski stabilan , ako se tokom vremena sistem približi ravnotežnom položaju, tj

Određivanje uslova za stabilnost ravnotežnog položaja je prilično složen zadatak, pa ćemo se ograničiti na najjednostavniji slučaj: proučavanje stabilnosti ravnoteže konzervativnih sistema.

Određeni su dovoljni uslovi za stabilnost ravnotežnih položaja za takve sisteme Lagrange-Dirichletova teorema : ravnotežni položaj konzervativnog mehaničkog sistema je stabilan ako u ravnotežnom položaju potencijalna energija sistema ima izolovani minimum .

Potencijalna energija mehaničkog sistema određena je tačno na konstantu. Odaberimo ovu konstantu tako da u ravnotežnom položaju potencijalna energija bude jednaka nuli:

P (0)=0.

Tada će za sistem sa jednim stepenom slobode dovoljan uslov za postojanje izolovanog minimuma, zajedno sa neophodnim uslovom (2), biti uslov

Budući da u ravnotežnom položaju potencijalna energija ima izolovani minimum i P (0)=0 , tada u nekoj konačnoj okolini ove pozicije

P(q)=0.

Pozivaju se funkcije koje imaju konstantan predznak i jednake su nuli samo kada su svi njihovi argumenti nula određen u znaku. Shodno tome, da bi ravnotežni položaj mehaničkog sistema bio stabilan, neophodno je i dovoljno da u okolini ovog položaja potencijalna energija bude pozitivno određena funkcija generalizovanih koordinata.

Za linearne sisteme i za sisteme koji se mogu svesti na linearne za mala odstupanja od ravnotežnog položaja (linearizovani), potencijalna energija se može predstaviti u obliku kvadratnog oblika generalizovanih koordinata

Gdje - generalizovani koeficijenti krutosti.

Generalizovani koeficijentisu konstantni brojevi koji se mogu odrediti direktno iz širenja potencijalne energije u seriju ili iz vrijednosti drugih izvoda potencijalne energije u odnosu na generalizirane koordinate u ravnotežnom položaju:

Iz formule (4) slijedi da su generalizirani koeficijenti krutosti simetrični u odnosu na indekse

Za to Da bi bili zadovoljeni dovoljni uslovi za stabilnost ravnotežnog položaja, potencijalna energija mora biti pozitivno određen kvadratni oblik njenih generalizovanih koordinata.

U matematici postoji Silvesterov kriterijum , što daje potrebne i dovoljne uslove za pozitivnu određenost kvadratnih oblika: kvadratni oblik (3) će biti pozitivno određen ako je determinanta sastavljena od njenih koeficijenata i svih njenih glavnih dijagonalnih minora pozitivna, tj. ako su šanse će zadovoljiti uslove

.....

Konkretno, za linearni sistem sa dva stepena slobode, potencijalna energija i uslovi Sylvesterovog kriterijuma imaće oblik

Na sličan način moguće je proučavati položaje relativne ravnoteže ako se umjesto potencijalne energije u obzir uvede potencijalna energija redukovanog sistema.

P Primjer određivanja ravnotežnih položaja i proučavanja njihove stabilnosti

Fig.2

Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od cijevi AB, što je štap OO 1 spojena na horizontalnu os rotacije, i lopta koja se kreće duž cijevi bez trenja i povezana je s tačkom A cijevi sa oprugom (slika 2). Odredimo ravnotežne položaje sistema i procenimo njihovu stabilnost pod sledećim parametrima: dužina cevi l 2 = 1 m , dužina štapa l 1 = 0,5 m . nedeformisana dužina opruge l 0 = Krutost opruge 0,6 m c= 100 N/m. Težina cijevi m 2 = 2 kg, štap - m 1 = 1 kg i lopta - m 3 = 0,5 kg. Razdaljina O.A. jednaki l 3 = 0,4 m.

Zapišimo izraz za potencijalnu energiju sistema koji se razmatra. Sastoji se od potencijalne energije tri tijela koja se nalaze u jednoličnom gravitacijskom polju i potencijalne energije deformirane opruge.

Potencijalna energija tijela u gravitacionom polju jednaka je proizvodu težine tijela i visine njegovog težišta iznad ravni u kojoj se potencijalna energija smatra jednakom nuli. Neka potencijalna energija bude nula u ravnini koja prolazi kroz os rotacije štapa OO 1, zatim za gravitaciju

Za elastičnu silu, potencijalna energija je određena veličinom deformacije

Nađimo moguće ravnotežne položaje sistema. Koordinatne vrijednosti na ravnotežnim pozicijama su korijeni sljedećeg sistema jednadžbi.

Sličan sistem jednačina može se sastaviti za bilo koji mehanički sistem sa dva stepena slobode. U nekim slučajevima moguće je dobiti tačno rješenje sistema. Za sistem (5) takvo rješenje ne postoji, pa se korijeni moraju tražiti numeričkim metodama.

Rješavajući sistem transcendentalnih jednadžbi (5) dobijamo dva moguća položaja ravnoteže:

Za procjenu stabilnosti dobijenih ravnotežnih položaja, naći ćemo sve druge izvode potencijalne energije u odnosu na generalizirane koordinate i iz njih ćemo odrediti generalizirane koeficijente krutosti.

Dozvolite mi da razmotrim materijalnu tačku čije je kretanje ograničeno na takav način da ima samo jedan stepen slobode.

To znači da se njegov položaj može odrediti pomoću jedne veličine, kao što je x koordinata. Primjer je lopta koja bez trenja klizi duž fiksne žice savijene u vertikalnoj ravni (slika 26.1a).

Drugi primjer je lopta pričvršćena na kraj opruge, koja bez trenja klizi na horizontalnu vodilicu (slika 26.2, a).

Na loptu djeluje konzervativna sila: u prvom slučaju to je sila gravitacije, u drugom slučaju elastična sila deformirane opruge. Grafikoni potencijalne energije prikazani su na Sl. 26.1, b i 26.2, b.

Kako se kuglice kreću duž žice bez trenja, sila kojom žica djeluje na kuglicu je u oba slučaja okomita na brzinu lopte i stoga ne radi na loptici. Dakle, očuvanje energije se odvija:

Iz (26.1) slijedi da se kinetička energija može povećati samo zbog smanjenja energije amplitude. Dakle, ako je lopta u takvom stanju da je njena brzina nula, a potencijalna energija ima minimalnu vrijednost, tada se bez vanjskog utjecaja neće moći kretati, odnosno biće u ravnoteži.

Minimumi U odgovaraju jednakim vrijednostima u grafovima (na slici 26.2 nalazi se dužina nedeformisanog odreda) Uslov za minimalnu potencijalnu energiju ima oblik

U skladu sa t (22.4), uslov (26.2) je ekvivalentan činjenici da

(u slučaju kada je U funkcija samo jedne varijable, ). Dakle, položaj koji odgovara minimalnoj potencijalnoj energiji ima svojstvo da je sila koja djeluje na tijelo nula.

U slučaju prikazanom na sl. 26.1, uslovi (26.2) i (26.3) su takođe zadovoljeni za x jednako (tj. za maksimum U). Položaj lopte određen ovom vrijednošću također će biti ravnotežan. Međutim, ova ravnoteža, za razliku od ravnoteže pri, bit će nestabilna: dovoljno je malo udaljiti loptu iz ove pozicije i pojavit će se sila koja će loptu odmaknuti od pozicije . Sile koje nastaju kada se lopta pomjeri iz stabilnog ravnotežnog položaja (za koji ) usmjerene su na takav način da teže da vrate loptu u ravnotežni položaj.

Poznavajući tip t funkcije koja izražava potencijalnu energiju, možemo donijeti brojne zaključke o prirodi kretanja čestice. Objasnimo ovo koristeći graf prikazan na Sl. 26.1, b. Ako ukupna energija ima vrijednost prikazanu na slici, tada se čestica može kretati u rasponu od do ili u rasponu od do beskonačnosti. Čestica ne može prodrijeti u područje, jer potencijalna energija ne može postati veća od ukupne energije (ako bi se to dogodilo, kinetička energija bi postala negativna). Dakle, područje predstavlja potencijalnu barijeru kroz koju čestica ne može prodrijeti s obzirom na datu količinu ukupne energije. Područje se naziva potencijalna bušotina.

Ako se čestica tokom svog kretanja ne može udaljiti u beskonačnost, kretanje se naziva konačnim. Ako čestica može ići koliko god želi, kretanje se naziva beskonačnim. Čestica u potencijalnoj bušotini prolazi kroz konačno kretanje. Kretanje čestice sa negativnom ukupnom energijom u središnjem polju privlačnih sila također će biti konačno (pretpostavlja se da potencijalna energija nestaje u beskonačnosti).