Zapremina tijela dobijena rotacijom oko x ose. Korištenje integrala za pronalaženje volumena tijela okretanja. Kako izračunati zapreminu obrtnog tela

Koristeći definitivni integral, možete izračunati ne samo oblasti ravnih figura, ali i zapremine tijela nastalih rotacijom ovih figura oko koordinatnih osa.

Primjeri takvih tijela su na donjoj slici.

U zadacima imamo zakrivljene trapeze koji se rotiraju oko ose Ox ili oko ose Oy. Da bismo izračunali volumen tijela nastalog rotacijom zakrivljenog trapeza, potrebno nam je:

• broj "pi" (3.14...);
• definitivni integral kvadrata "ig" - funkcije koja specificira rotirajuću krivu (ovo je ako se kriva rotira oko ose Ox );
• definitivni integral kvadrata "x", izražen iz "y" (ovo je ako se kriva rotira oko ose Oy );
• granice integracije - a I b.

Dakle, tijelo koje nastaje rotacijom oko ose Ox krivolinijski trapez omeđen iznad grafikom funkcije y = f(x) , ima zapreminu

Ista jačina v tijelo dobijeno rotacijom oko ordinatne ose ( Oy) zakrivljenog trapeza izražava se formulom

Prilikom izračunavanja površine ravne figure saznali smo da se površine nekih figura mogu naći kao razlika dvaju integrala u kojima su integrandi one funkcije koje ograničavaju lik odozgo i odozdo. Ovo je slično situaciji s nekim tijelima rotacije, čiji se volumeni izračunavaju kao razlika između volumena dvaju tijela, takvi slučajevi su razmatrani u primjerima 3, 4 i 5.

Primjer 1.Ox) lik omeđen hiperbolom, x-osom i pravim linijama,.

Rješenje. Pronalazimo volumen tijela rotacije koristeći formulu (1), u kojoj , i granice integracije a = 1 , b = 4 :

Primjer 2. Pronađite zapreminu sfere poluprečnika R.

Rješenje. Razmotrimo loptu kao tijelo dobiveno rotacijom oko x-ose polukruga polumjera R sa centrom na početku. Tada će u formuli (1) funkcija integrand biti zapisana u obliku , a granice integracije su - R I R. dakle,

Primjer 3. Odredite zapreminu tijela nastalo rotacijom oko ose apscise ( Ox) lik zatvoren između parabola i .

Rješenje. Zamislimo potrebnu zapreminu kao razliku u zapreminama tela dobijenih rotacijom krivolinijskih trapeza oko ose apscise ABCDE I ABFDE. Zapremine ovih tijela pronalazimo pomoću formule (1), u kojoj su granice integracije jednake i - apscisa tačaka B I D preseci parabola. Sada možemo pronaći volumen tijela:

Primjer 4. Izračunajte zapreminu torusa (torus je telo dobijeno rotacijom kruga poluprečnika a oko ose koja leži u svojoj ravni na udaljenosti b od centra kruga (). Na primjer, volan ima oblik torusa).

Rješenje. Neka se krug rotira oko ose Ox(Sl. 20). Volumen torusa se može predstaviti kao razlika u zapreminama tijela dobivenih rotacijom krivolinijskih trapeza ABCDE I ABLDE oko ose Ox.

Jednačina kružnice LBCD izgleda kao

i jednačina krive BCD

i jednačina krive BLD

Koristeći razliku između volumena tijela, dobijamo zapreminu torusa v izraz

Neka linija bude ograničena. ravna figura je definirana u polarnom koordinatnom sistemu.

Primjer: Izračunajte obim: x 2 +y 2 =R 2

Izračunajte dužinu 4. dijela kruga koji se nalazi u prvom kvadrantu (x≥0, y≥0):

Ako je jednadžba krive specificirana u parametarskom obliku:
, funkcije x(t), y(t) su definirane i kontinuirane zajedno sa njihovim derivatima na intervalu [α,β]. Izvod, a zatim zamjena u formulu:
i s obzirom na to

dobijamo
dodati množilac
pod znakom korena i konačno dobijamo

Napomena: Uz ravnu krivu, možete uzeti u obzir i funkciju kojoj je dat parametar u prostoru, a zatim dodati funkciju z=z(t) i formulu

Primjer: Izračunajte dužinu astroida, koja je data jednadžbom: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Izračunajte dužinu 4. dijela:

prema formuli

Dužina luka ravninske krive određene u polarnom koordinatnom sistemu:

Neka je jednačina krivulje data u polarnom koordinatnom sistemu:
- kontinuirana funkcija, zajedno sa njenim izvodom na intervalu [α,β].

Formule za prijelaz iz polarnih koordinata:

smatrati parametarskim:

ϕ - parametar, prema f-le

2

Primjer: Izračunajte dužinu krive:
>0

Koncept: izračunajmo pola obima:

Zapremina tijela, izračunata iz površine poprečnog presjeka tijela.

Neka je dato tijelo, ograničeno zatvorenom površinom, i neka je površina bilo kojeg presjeka ovog tijela poznata ravninom koja je okomita na os Ox. Ovo područje će ovisiti o položaju rezne ravnine.

neka cijelo tijelo bude zatvoreno između 2 ravni okomite na osu Ox, sijekući ga u tačkama x=a, x=b (a

Da bismo odredili volumen takvog tijela, podijelimo ga na slojeve koristeći ravnine rezanja okomite na os Ox i sijeku ga u tačkama. U svakom parcijalnom intervalu
. Hajde da izaberemo

a za svaku vrijednost i=1,….,n konstruisaćemo cilindrično tijelo čija je generatriksa paralelna sa Ox, a vodilica je kontura presjeka tijela ravninom x=C i, zapremine takav elementarni cilindar sa osnovnom površinom S=C i i visinom ∆x i . V i =S(C i)∆x i . Zapremina svih takvih elementarnih cilindara će biti
. Granica ove sume, ako postoji i konačna je na max ∆h  0, naziva se zapremina datog tijela.

. Pošto je V n integralni zbir za funkciju S(x) kontinuiranu na intervalu, tada naznačena granica postoji (uslovi postojanja) i izražena je def. Integral.

- zapremina tijela, izračunata iz površine poprečnog presjeka.

Volumen tijela rotacije:

Neka se tijelo formira rotacijom oko ose Ox krivolinijskog trapeza ograničenog grafikom funkcije y=f(x), osom Ox i pravim linijama x=a, x=b.

Neka je funkcija y=f(x) definirana i kontinuirana na segmentu i nenegativna na njemu, tada je presjek ovog tijela ravninom okomitom na Ox kružnica poluprečnika R=y(x)=f(x) ). Površina kruga S(x)=Py 2 (x)=P 2. Zamjena formule
dobijamo formulu za izračunavanje zapremine tela rotacije oko ose Ox:

Ako se krivolinijski trapez, ograničen grafikom kontinuirane funkcije, rotira oko ose Oy, tada je volumen takvog tijela rotacije:

Isti volumen se može izračunati pomoću formule:
. Ako je prava data parametarskim jednadžbama:

Zamjenom varijable dobijamo:

Ako je prava data parametarskim jednadžbama:

y (α)= c , y (β)= d . Zamjenom y = y (t) dobijamo:

Izračunajte tijela rotacije oko ose parabole, .

2) Izračunajte V tijela rotacije oko ose OX zakrivljenog trapeza ograničenog pravom linijom y=0, lukom (sa centrom u tački (1;0), i radijusom=1), sa .

Površina okretnog tijela

Neka se data površina formira rotacijom krive y =f(x) oko ose Ox. Potrebno je odrediti S ove površine na .

Neka je funkcija y =f(x) definirana i kontinuirana, ima neprirodnu i nenegativnu u svim točkama segmenta [a;b]

Nacrtajmo tetive dužine koje označavamo redom (n-tetivi)

prema Lagrangeovoj teoremi:

Površina cijele opisane izlomljene linije bit će jednaka

Definicija: granica ove sume, ako je konačna, kada je najveća karika izlomljene linije max, naziva se površina površine okretanja koja se razmatra.

Može se dokazati da je sto granica sume jednaka granici integrisane sume za p-ti

Formula za S površinu tijela okretanja =

S površine formirane rotacijom luka krive x=g(x) oko ose Oy na

Kontinuirano sa svojim derivatom

Ako je kriva parametarski data ur-mix=x(t) ,y= t(t) f-iix’(t), y’(t), x(t), y(t) definisani su na intervalu [a; b], x(a)= a, x(b)= bzatim izvršiti zamjenu sa promjenomx= x(t)

Ako se kriva zada parametarski, promjenom formule dobijamo:

Ako je jednadžba krive specificirana u polarnom koordinatnom sistemu

Spovršina rotacije oko ose će biti jednaka

I. Volume tijela revolucije. Preliminarno proučite Poglavlje XII, paragrafe 197, 198 iz udžbenika G. M. Fikhtengoltsa * Detaljno analizirajte primjere date u paragrafu 198.

508. Izračunaj zapreminu tijela nastalog rotacijom elipse oko ose Ox.

dakle,

530. Nađite površinu koja se formira rotacijom oko ose Ox luka sinusoida y = sin x od tačke X = 0 do tačke X = It.

531. Izračunaj površinu stošca visine h i poluprečnika r.

532. Izračunaj formiranu površinu

rotacija astroida x3 -)- y* - a3 oko ose Ox.

533. Izračunajte površinu formiranu rotacijom petlje krive 18 ug - x (6 - x) z oko ose Ox.

534. Pronađite površinu torusa nastalu rotacijom kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 oko ose Ox.

535. Izračunajte površinu formiranu rotacijom kružnice X = a trošak, y = asint oko ose Ox.

536. Izračunajte površinu nastalu rotacijom petlje krive x = 9t2, y = St - 9t3 oko ose Ox.

537. Pronađite površinu formiranu rotacijom luka krive x = e*sint, y = el cost oko ose Ox

od t = 0 do t = —.

538. Pokazati da je površina nastala rotacijom cikloidnog luka x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) oko ose Oy jednaka 16 u2 o2.

539. Pronađite površinu dobijenu rotacijom kardioide oko polarne ose.

540. Pronađite površinu nastalu rotacijom lemniskate Oko polarne ose.

Dodatni zadaci za Poglavlje IV

Područja ravnih figura

541. Nađite cijelu površinu područja ograničenog krivom I osovina Ox.

542. Nađite površinu područja ograničenog krivom

I osovina Ox.

543. Pronađite dio površine regije koja se nalazi u prvom kvadrantu i ograničena je krivom

l koordinatne ose.

544. Pronađite površinu regije koja se nalazi unutra

petlje:

545. Nađite površinu područja ograničene jednom petljom krive:

546. Pronađite površinu regije koja se nalazi unutar petlje:

547. Nađite površinu područja ograničenog krivom

I osovina Ox.

548. Nađite površinu područja ograničene krivom

I osovina Ox.

549. Nađite površinu područja omeđenog osom Oxr

pravo i krivo

Korištenje integrala za pronalaženje volumena tijela okretanja

Praktična korisnost matematike je zbog činjenice da bez

Specifična matematička znanja otežavaju razumijevanje principa uređaja i upotrebe moderne tehnologije. Svaka osoba u svom životu mora izvršiti prilično složene proračune, koristiti uobičajenu opremu, pronaći potrebne formule u referentnim knjigama i kreirati jednostavne algoritme za rješavanje problema. U savremenom društvu sve više specijalnosti koje zahtijevaju visok nivo obrazovanja povezuju se s direktnom primjenom matematike. Dakle, matematika postaje stručno značajan predmet za učenika. Vodeća uloga pripada matematici u formiranju algoritamskog mišljenja, ona razvija sposobnost postupanja po datom algoritmu i konstruisanja novih algoritama.

Prilikom izučavanja teme o upotrebi integrala za izračunavanje zapremina obrtnih tela, predlažem da učenici na izbornoj nastavi razmotre temu: „Zapremine obrtnih tela pomoću integrala“. U nastavku se nalaze metodološke preporuke za razmatranje ove teme:

1. Površina ravne figure.

Iz kursa algebre znamo da su problemi praktične prirode doveli do koncepta određenog integrala. Jedan od njih je izračunavanje površine ravne figure ograničene kontinuiranom linijom y=f(x) (gdje je f(x)DIV_ADBLOCK243">

Izračunajmo površinu krivolinijskog trapeza koristeći formulu ako osnova trapeza leži na x-osi ili koristeći formulu https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" širina ="526" visina="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Da bismo pronašli volumen tijela rotacije formiranog rotacijom krivolinijskog trapeza oko ose Ox, ograničenog izlomljenom linijom y=f(x), osom Ox, pravim linijama x=a i x=b, izračunavamo koristeći formulu

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Volumen cilindra.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Konus se dobija rotacijom pravokutnog trokuta ABC(C=90) oko ose Ox na kojoj leži krak AC.

Segment AB leži na pravoj liniji y=kx+c, gdje je https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Neka je a=0, b=H (H je visina stošca), zatim Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Volumen krnjeg konusa.

Skraćeni konus se može dobiti rotacijom pravokutnog trapeza ABCD (CDOx) oko ose Ox.

Segment AB leži na pravoj y=kx+c, gdje je , c=r.

Pošto prava prolazi kroz tačku A (0;r).

Dakle, ravna linija izgleda kao https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Neka je a=0, b=H (H je visina krnjeg stošca), zatim https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volumen lopte.

Lopta se može dobiti rotiranjem kruga sa centrom (0;0) oko ose Ox. Polukrug koji se nalazi iznad ose Ox dat je jednadžbom

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Odjeljci: Matematika

Tip časa: kombinovani.

Svrha lekcije: naučiti izračunavati zapremine tijela okretanja koristeći integrale.

Zadaci:

• konsolidirati sposobnost prepoznavanja krivolinijskih trapeza iz više geometrijskih figura i razviti vještinu izračunavanja površina krivolinijskih trapeza;
• upoznati koncept trodimenzionalne figure;
• naučiti izračunati zapremine tijela okretanja;
• promicati razvoj logičkog mišljenja, kompetentnog matematičkog govora, tačnosti pri izradi crteža;
• gajiti interesovanje za predmet, u radu sa matematičkim pojmovima i slikama, negovati volju, samostalnost i istrajnost u postizanju konačnog rezultata.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

Pozdrav iz grupe. Saopštiti učenicima ciljeve časa.

Refleksija. Mirna melodija.

– Želio bih da počnem današnju lekciju prispodobom. “Živeo jednom davno jedan mudar čovek koji je sve znao. Jedan čovek je hteo da dokaže da mudrac ne zna sve. Držeći leptira u dlanovima, upitao je: "Reci mi, mudrače, koji je leptir u mojim rukama: mrtav ili živ?" I on sam misli: "Ako živi kaže, ubiću je, mrtvi će reći, pustiću je." Mudrac je, nakon što je razmislio, odgovorio: "Sve u tvojim rukama". (Prezentacija.Slajd)

– Zato, hajde da danas plodno radimo, steknemo novu zalihu znanja, a stečene veštine i sposobnosti primenićemo u budućem životu i praktičnim aktivnostima. "Sve u tvojim rukama".

II. Ponavljanje prethodno proučenog materijala.

– Prisjetimo se glavnih tačaka prethodno proučenog materijala. Da bismo to učinili, izvršimo zadatak "Uklonite suvišnu riječ."(Slajd.)

(Učenik ide u ID koristi gumicu da ukloni suvišnu riječ.)

- Dobro "Diferencijal". Pokušajte imenovati preostale riječi jednom zajedničkom riječi. (Integralni račun.)

– Prisjetimo se glavnih faza i koncepata povezanih s integralnim računom.

“Matematička grupa”.

Vježbajte. Popravite praznine. (Učenik izlazi i olovkom upisuje tražene riječi.)

– Kasnije ćemo čuti sažetak o primjeni integrala.

Rad u sveskama.

– Njutn-Lajbnicovu formulu su izveli engleski fizičar Isak Njutn (1643–1727) i nemački filozof Gotfrid Lajbnic (1646–1716). I to nije iznenađujuće, jer matematika je jezik kojim govori sama priroda.

– Razmotrimo kako se ova formula koristi za rješavanje praktičnih problema.

Primjer 1: Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Rješenje: Napravimo grafove funkcija na koordinatnoj ravni . Odaberimo područje figure koje treba pronaći.

III. Učenje novog gradiva.

– Obratite pažnju na ekran. Šta je prikazano na prvoj slici? (Slajd) (Slika prikazuje ravnu figuru.)

– Šta je prikazano na drugoj slici? Je li ova figura ravna? (Slajd) (Slika prikazuje trodimenzionalnu figuru.)

– U svemiru, na zemlji iu svakodnevnom životu susrećemo se ne samo s ravnim figurama, već i sa trodimenzionalnim, ali kako izračunati zapreminu takvih tijela? Na primjer, zapremina planete, komete, meteorita itd.

– Ljudi razmišljaju o zapremini i kada grade kuće i kada prelivaju vodu iz jedne posude u drugu. Pravila i tehnike za izračunavanje količine su se morale pojaviti, to je druga stvar.

Poruka od studenta. (Tjurina Vera.)

Godina 1612. bila je vrlo plodna za stanovnike austrijskog grada Linca, gdje je živio poznati astronom Johannes Kepler, posebno za grožđe. Ljudi su pripremali vinske bačve i željeli su znati kako praktično odrediti njihovu količinu. (Slajd 2)

– Tako su razmatrani Keplerovi radovi označili početak čitavog toka istraživanja koji je kulminirao u poslednjoj četvrtini 17. veka. dizajn u djelima I. Newtona i G.V. Leibniz diferencijalnog i integralnog računa. Od tog vremena matematika varijabli zauzima vodeće mjesto u sistemu matematičkog znanja.

– Danas ćemo se ti i ja baviti takvim praktičnim aktivnostima, dakle,

Tema naše lekcije: "Izračunavanje volumena tijela rotacije pomoću određenog integrala." (Slajd)

– Naučit ćete definiciju tijela revolucije ispunjavanjem sljedećeg zadatka.

“Labirint”.

Lavirint (grčka reč) znači ići u podzemlje. Labirint je složena mreža staza, prolaza i međusobno povezanih prostorija.

Ali definicija je bila "pokvarena", ostavljajući naznake u obliku strelica.

Vježbajte. Pronađite izlaz iz zbunjujuće situacije i zapišite definiciju.

Slajd. “Uputa za mapu” Izračun volumena.

Koristeći određeni integral, možete izračunati zapreminu određenog tijela, posebno tijela okretanja.

Tijelo okretanja je tijelo koje se dobije rotacijom zakrivljenog trapeza oko svoje osnove (sl. 1, 2)

Volumen tijela rotacije izračunava se pomoću jedne od formula:

1. oko ose OX.

2. , ako je rotacija zakrivljenog trapeza oko ose op-amp.

Svaki učenik dobija instrukciju. Nastavnik naglašava glavne tačke.

– Nastavnik objašnjava rješenja primjera na tabli.

Razmotrimo odlomak iz poznate bajke A. S. Puškina "Priča o caru Saltanu, o njegovom slavnom i moćnom sinu princu Gvidonu Saltanoviču i o prelijepoj princezi Labud" (Slajd 4):

…..
I pijani glasnik je doveo
Istog dana redosled je sledeći:
„Kralj naređuje svojim bojarima,
bez gubljenja vremena,
I kraljica i potomstvo
Tajno baciti u ponor vode.”
Nema šta da se radi: bojari,
Brine se za suverena
I mladoj kraljici,
Gomila je došla u njenu spavaću sobu.
Izjavili su kraljevu volju -
Ona i njen sin imaju zao udio,
Pročitali smo dekret naglas,
I kraljica u isti čas
Stavili su me u bure sa sinom,
Namazali su katranom i odvezli se
I pustili su me u okiyan -
Tako je naredio car Saltan.

Kolika bi trebala biti zapremina bureta da kraljica i njen sin mogu stati u njega?

– Razmotrite sljedeće zadatke

1. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ordinatne ose krivolinijskog trapeza omeđenog linijama: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odgovor: 1163 cm 3 .

Odredite zapreminu tela dobijenu rotacijom paraboličnog trapeza oko ose apscise y = , x = 4, y = 0.

IV. Konsolidacija novog materijala

Primjer 2. Izračunajte volumen tijela nastalog rotacijom latice oko x-ose y = x 2 , y 2 = x.

Napravimo grafove funkcije. y = x 2 , y 2 = x. Raspored y2 = x pretvoriti u formu y= .

Imamo V = V 1 – V 2 Izračunajmo volumen svake funkcije

– Pogledajmo sada toranj za radio stanicu u Moskvi na Šabolovki, izgrađen po projektu izuzetnog ruskog inženjera, počasnog akademika V. G. Šuhova. Sastoji se od dijelova - hiperboloida rotacije. Štaviše, svaki od njih je napravljen od ravnih metalnih šipki koje povezuju susjedne krugove (sl. 8, 9).

- Hajde da razmotrimo problem.

Odredite zapreminu tela dobijenu rotacijom luka hiperbole oko svoje imaginarne ose, kao što je prikazano na sl. 8, gdje

kocka jedinice

Grupni zadaci. Učenici žrebaju sa zadacima, crtaju crteže na whatman papiru, a jedan od predstavnika grupe brani rad.

1. grupa.

Hit! Hit! Još jedan udarac!
Lopta leti u gol - LOPTA!
A ovo je kuglica od lubenice
Zeleno, okruglo, ukusno.
Pogledajte bolje - kakva lopta!
Napravljena je samo od krugova.
Narežite lubenicu na krugove
I probajte ih.

Odrediti volumen tijela dobiven rotacijom oko ose OX ograničene funkcije

Greška! Oznaka nije definirana.

– Recite mi, molim vas, gde se srećemo sa ovom figurom?

Kuća. zadatak za 1 grupu. CILINDAR (slajd) .

"Cilindar - šta je to?" – pitala sam tatu.
Otac se nasmijao: Cilindar je šešir.
Da imate ispravnu ideju,
Cilindar je, recimo, konzerva.
Cijev za parobrod - cilindar,
I cijev na našem krovu,

Sve cijevi su slične cilindru.
I dao sam jedan ovakav primjer -
moj voljeni kaleidoskop,
Ne možeš skinuti pogled sa njega,
I izgleda kao cilindar.

- Vežbaj. Domaća zadaća: grafički prikazati funkciju i izračunati volumen.

2. grupa. KORNET (slajd).

Mama je rekla: A sada
Moja priča će biti o konusu.
Stargazer u visokom šeširu
Broji zvijezde tokom cijele godine.
CONE - šešir zvijezda.
Takav je on. Razumeo? To je to.
Mama je stajala za stolom,
Sipao sam ulje u flaše.
-Gdje je lijevak? Nema lijevka.
Potraži ga. Nemojte stajati po strani.
- Mama, neću popustiti.
Recite nam više o konusu.
– Lijevak je u obliku konusa kante za zalijevanje.
Hajde, nađi mi je brzo.
Nisam mogao naći lijevak
Ali mama je napravila torbu,
Obmotao sam karton oko prsta
I vješto ga pričvrstila spajalicom.
Ulje teče, mama je srećna,
Konus je izašao baš kako treba.

Vježbajte. Izračunajte zapreminu tela dobijenu rotacijom oko ose apscise

Kuća. zadatak za 2. grupu. PIRAMIDA(slajd).

Video sam sliku. Na ovoj slici
U pješčanoj pustinji nalazi se PIRAMIDA.
Sve u piramidi je izvanredno,
U tome postoji neka vrsta misterije i misterije.
I Spaska kula na Crvenom trgu
Vrlo je poznat i djeci i odraslima.
Ako pogledate kulu, izgleda obično,
Šta je na tome? Piramida!

Vježbajte. Domaća zadaća: grafički prikazati funkciju i izračunati volumen piramide

– Zapremine različitih tijela izračunali smo na osnovu osnovne formule za zapremine tijela pomoću integrala.

Ovo je još jedna potvrda da je definitivni integral neka osnova za proučavanje matematike.

- Pa, hajde da se odmorimo malo.

Nađi par.

Matematička domino melodija svira.

“Put koji sam i sam tražio nikada neće biti zaboravljen...”

Istraživački rad. Primjena integrala u ekonomiji i tehnologiji.

Testovi za jake učenike i matematički fudbal.

Matematički simulator.

2. Poziva se skup svih antideriva date funkcije

A) neodređeni integral,

B) funkcija,

B) diferencijacija.

7. Nađite zapreminu tijela dobivenu rotacijom oko ose apscise krivolinijskog trapeza omeđenog linijama:

D/Z. Izračunajte zapremine tijela rotacije.

Refleksija.

Prijem refleksije u obliku syncwine(pet redova).

1. red – naziv teme (jedna imenica).

2. red – opis teme u dvije riječi, dva pridjeva.

3. red – opis radnje u okviru ove teme u tri riječi.

Četvrti red je fraza od četiri riječi koja pokazuje stav prema temi (cijela rečenica).

5. red je sinonim koji ponavlja suštinu teme.

1. Volume.
2. Definitivni integral, integrabilna funkcija.
3. Gradimo, rotiramo, računamo.
4. Tijelo dobiveno rotacijom zakrivljenog trapeza (oko njegove baze).
5. Tijelo rotacije (volumetrijsko geometrijsko tijelo).

Zaključak (slajd).

• Određeni integral je određena osnova za proučavanje matematike, koja daje nezamjenjiv doprinos rješavanju praktičnih problema.
• Tema „Integral“ jasno pokazuje vezu između matematike i fizike, biologije, ekonomije i tehnologije.
• Razvoj moderne nauke nezamisliv je bez upotrebe integrala. S tim u vezi, potrebno je započeti njegovo proučavanje u okviru srednjeg stručnog obrazovanja!

Ocjenjivanje. (Sa komentarom.)

Veliki Omar Khayyam - matematičar, pjesnik, filozof. On nas ohrabruje da budemo gospodari svoje sudbine. Poslušajmo odlomak iz njegovog rada:

Kažete, ovaj život je jedan trenutak.
Cijenite to, crpite inspiraciju iz toga.
Kako ga potrošiš, tako će i proći.
Ne zaboravite: ona je vaša kreacija.