Sistem jednačina. Detaljna teorija s primjerima (2020). Rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi Vrste jednadžbi i metode za njihovo rješavanje

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Linearna jednadžba je algebarska jednadžba. U ovoj jednačini, ukupan stepen njenih sastavnih polinoma je jednak jedan.

Linearne jednadžbe su predstavljene na sljedeći način:

U opštem obliku: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

U kanonskom obliku: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Linearna jednadžba sa jednom varijablom.

Linearna jednadžba s 1 promjenljivom svodi se na oblik:

sjekira+ b=0.

Na primjer:

2x + 7 = 0. Gdje a=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0. Gdje a=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0. Gdje a=12, b=1/2.

Broj korijena ovisi o a I b:

Kada a= b=0 , što znači da jednačina ima neograničen broj rješenja, budući da .

Kada a=0 , b≠ 0 , što znači da jednačina nema korijena, budući da .

Kada a ≠ 0 , što znači da jednačina ima samo jedan korijen.

Linearna jednadžba sa dvije varijable.

Jednačina sa varijablom x je jednakost tipa A(x)=B(x), Gdje Sjekira) I B(x)- izrazi iz x. Prilikom zamjene seta T vrijednosti x u jednačinu dobijamo pravu numeričku jednakost, koja se zove istina set ovu jednačinu ili rješenje date jednačine, a sve takve vrijednosti varijable su korijeni jednadžbe.

Linearne jednadžbe 2 varijable su predstavljene u sljedećem obliku:

U opštem obliku: ax + by + c = 0,

U kanonskom obliku: ax + by = -c,

U obliku linearne funkcije: y = kx + m, Gdje .

Rješenje ili korijeni ove jednačine je sljedeći par varijabilnih vrijednosti (x;y), što ga pretvara u identitet. Linearna jednadžba sa 2 varijable ima neograničen broj ovih rješenja (korijena). Geometrijski model (graf) ove jednačine je prava linija y=kx+m.

Ako jednačina sadrži x na kvadrat, tada se jednačina naziva

Nakon što smo proučili pojam jednakosti, odnosno jedan od njihovih tipova - numeričke jednakosti, možemo prijeći na drugu važnu vrstu - jednačine. U okviru ovog materijala objasnićemo šta je jednačina i njen koren, formulisati osnovne definicije i dati različite primere jednačina i pronalaženja njihovih korena.

Koncept jednačine

Obično se koncept jednačine uči na samom početku školskog kursa algebre. Tada se definiše ovako:

Definicija 1

Jednačina naziva se jednakost s nepoznatim brojem koji treba pronaći.

Uobičajeno je da se nepoznanice označavaju malim latiničnim slovima, na primjer, t, r, m, itd., ali se najčešće koriste x, y, z. Drugim riječima, jednačina je određena oblikom njenog zapisa, odnosno jednakost će biti jednačina tek kada se svede na određeni oblik – mora sadržavati slovo, vrijednost koja se mora pronaći.

Navedimo nekoliko primjera najjednostavnijih jednadžbi. To mogu biti jednakosti oblika x = 5, y = 6, itd., kao i one koje uključuju aritmetičke operacije, na primjer, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Nakon što se nauči pojam zagrada, pojavljuje se koncept jednadžbi sa zagradama. To uključuje 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, itd. Slovo koje treba pronaći može se pojaviti više puta, ali nekoliko puta, npr. , na primjer, u jednadžbi x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Također, nepoznate se mogu nalaziti ne samo na lijevoj, već i na desnoj ili na oba dijela istovremeno, na primjer, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 ili 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Dalje, nakon što se učenici upoznaju s pojmovima cijelih, realnih, racionalnih, prirodnih brojeva, kao i logaritma, korijena i potencija, pojavljuju se nove jednadžbe koje uključuju sve ove objekte. Primjerima takvih izraza posvetili smo poseban članak.

U nastavnom planu i programu 7. razreda prvi put se pojavljuje koncept varijabli. To su slova koja mogu poprimiti različita značenja (za više detalja pogledajte članak o numeričkim, slovnim i varijabilnim izrazima). Na osnovu ovog koncepta, možemo redefinirati jednačinu:

Definicija 2

Jednačina je jednakost koja uključuje varijablu čiju vrijednost treba izračunati.

To jest, na primjer, izraz x + 3 = 6 x + 7 je jednačina sa varijablom x, a 3 y − 1 + y = 0 je jednačina sa varijablom y.

Jedna jednačina može imati više od jedne varijable, ali dvije ili više. One se nazivaju jednadžbe sa dvije, tri varijable, itd. Zapišimo definiciju:

Definicija 3

Jednačine sa dvije (tri, četiri ili više) varijable su jednačine koje uključuju odgovarajući broj nepoznatih.

Na primjer, jednakost oblika 3, 7 · x + 0, 6 = 1 je jednačina sa jednom varijablom x, a x − z = 5 je jednačina sa dvije varijable x i z. Primjer jednačine sa tri varijable bi bio x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Korijen jednadžbe

Kada govorimo o jednadžbi, odmah se javlja potreba da se definiše pojam njenog korena. Hajde da pokušamo da objasnimo šta to znači.

Primjer 1

Dobili smo određenu jednačinu koja uključuje jednu varijablu. Ako nepoznato slovo zamijenimo brojem, jednačina postaje numerička jednakost – tačna ili netačna. Dakle, ako u jednadžbi a + 1 = 5 zamijenimo slovo brojem 2, tada će jednakost postati netačna, a ako je 4, tada će tačna jednakost biti 4 + 1 = 5.

Više nas zanimaju upravo one vrijednosti s kojima će se varijabla pretvoriti u pravu jednakost. Zovu se korijeni ili rješenja. Hajde da zapišemo definiciju.

Definicija 4

Korijen jednadžbe Oni nazivaju vrijednost varijable koja pretvara datu jednačinu u pravu jednakost.

Korijen se također može nazvati rješenjem, ili obrnuto - oba ova koncepta znače istu stvar.

Primjer 2

Uzmimo primjer da razjasnimo ovu definiciju. Gore smo dali jednačinu a + 1 = 5. Prema definiciji, korijen će u ovom slučaju biti 4, jer kada se zamijeni umjesto slova daje tačnu brojčanu jednakost, a dva neće biti rješenje, jer odgovara netačnoj jednakosti 2 + 1 = 5.

Koliko korijena može imati jedna jednačina? Da li svaka jednadžba ima korijen? Hajde da odgovorimo na ova pitanja.

Jednačine koje nemaju jedan korijen također postoje. Primjer bi bio 0 x = 5. U njega možemo zamijeniti beskonačan broj različitih brojeva, ali nijedan od njih ga neće pretvoriti u pravu jednakost, jer množenje sa 0 uvijek daje 0.

Postoje i jednadžbe koje imaju nekoliko korijena. Mogu imati ili konačan ili beskonačan broj korijena.

Primjer 3

Dakle, u jednačini x − 2 = 4 postoji samo jedan korijen - šest, u x 2 = 9 dva korijena - tri i minus tri, u x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tri korijena - nula, jedan i dva, postoji beskonačno mnogo korijena u jednačini x=x.

Sada ćemo objasniti kako ispravno napisati korijene jednadžbe. Ako ih nema, onda pišemo: "jednačina nema korijena." U ovom slučaju možete naznačiti i predznak praznog skupa ∅. Ako postoje korijeni, onda ih pišemo odvojene zarezima ili ih označavamo kao elemente skupa, zatvarajući ih u vitičaste zagrade. Dakle, ako bilo koja jednačina ima tri korijena - 2, 1 i 5, onda pišemo - 2, 1, 5 ili (- 2, 1, 5).

Dozvoljeno je pisati korijene u obliku jednostavnih jednakosti. Dakle, ako je nepoznata u jednadžbi označena slovom y, a korijeni su 2 i 7, onda pišemo y = 2 i y = 7. Ponekad se slovima dodaju indeksi, na primjer, x 1 = 3, x 2 = 5. Na taj način ukazujemo na brojeve korijena. Ako jednadžba ima beskonačan broj rješenja, onda odgovor pišemo kao numerički interval ili koristimo općeprihvaćenu notaciju: skup prirodnih brojeva označava se N, cijeli brojevi - Z, realni brojevi - R. Recimo, ako treba da zapišemo da će rješenje jednadžbe biti bilo koji cijeli broj, onda pišemo da je x ∈ Z, a ako je bilo koji realan broj od jedan do devet, onda je y ∈ 1, 9.

Kada jednačina ima dva, tri ili više korijena, tada se po pravilu ne govori o korijenima, već o rješenjima jednačine. Formulirajmo definiciju rješenja jednadžbe s nekoliko varijabli.

Definicija 5

Rješenje jednadžbe s dvije, tri ili više varijabli su dvije, tri ili više vrijednosti varijabli koje datu jednadžbu pretvaraju u ispravnu numeričku jednakost.

Objasnimo definiciju na primjerima.

Primjer 4

Recimo da imamo izraz x + y = 7, koji je jednadžba sa dvije varijable. Zamijenimo jedan umjesto prvog, a dva umjesto drugog. Dobićemo netačnu jednakost, što znači da ovaj par vrijednosti neće biti rješenje ove jednačine. Ako uzmemo par 3 i 4, onda jednakost postaje istinita, što znači da smo pronašli rješenje.

Takve jednadžbe također mogu imati bez korijena ili ih ima beskonačan broj. Ako treba da zapišemo dve, tri, četiri ili više vrednosti, onda ih pišemo odvojene zarezima u zagradama. Odnosno, u gornjem primjeru, odgovor će izgledati kao (3, 4).

U praksi se najčešće morate baviti jednadžbama koje sadrže jednu varijablu. Detaljno ćemo razmotriti algoritam za njihovo rješavanje u članku posvećenom rješavanju jednadžbi.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jednačina je matematički izraz koji je jednakost i sadrži nepoznanicu. Ako je jednakost istinita za bilo koje dopuštene vrijednosti nepoznatih uključenih u nju, onda se naziva identitetom; na primjer: relacija oblika (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) vrijedi za sve vrijednosti x.

Ako jednačina koja sadrži nepoznati x vrijedi samo za određene vrijednosti x, a ne za sve vrijednosti x, kao u slučaju identiteta, tada bi moglo biti korisno odrediti one vrijednosti x za koje jednačina je važeća. Takve vrijednosti x nazivaju se korijeni ili rješenja jednadžbe. Na primjer, broj 5 je korijen jednadžbe 2x + 7= 17.

U grani matematike koja se zove teorija jednačina, glavni predmet proučavanja su metode za rješavanje jednačina. U školskom kursu algebre velika pažnja se poklanja jednačinama.

Istorija proučavanja jednačina seže mnogo vekova unazad. Najpoznatiji matematičari koji su doprinijeli razvoju teorije jednačina bili su:

Arhimed (oko 287–212 pne) je bio starogrčki naučnik, matematičar i mehaničar. Proučavajući problem koji se svodi na kubnu jednačinu, Arhimed je otkrio ulogu karakteristike, koja je kasnije nazvana diskriminantom.

Fransoa Vijet je živeo u 16. veku. Dao je veliki doprinos proučavanju različitih problema u matematici. Posebno je uveo slovne oznake za koeficijente jednačine i uspostavio vezu između korijena kvadratne jednačine.

Leonhard Euler (1707 – 1783) - matematičar, mehaničar, fizičar i astronom. Autor knjige St. 800 radova iz matematičke analize, diferencijalnih jednačina, geometrije, teorije brojeva, približnih proračuna, nebeske mehanike, matematike, optike, balistike, brodogradnje, teorije muzike itd. Imao je značajan uticaj na razvoj nauke. Izveo je formule (Eulerove formule) koje izražavaju trigonometrijske funkcije varijable x kroz eksponencijalnu funkciju.

Lagrange Joseph Louis (1736-1813), francuski matematičar i mehaničar. Proveo je izvanredna istraživanja, uključujući istraživanja algebre (simetrične funkcije korijena jednadžbe, diferencijalnih jednadžbi (teorija singularnih rješenja, metoda varijacije konstanti).

J. Lagrange i A. Vandermonde su francuski matematičari. Godine 1771. prvi put je korišćena metoda za rešavanje sistema jednačina (metoda zamene).

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - njemački matematičar. Napisao je knjigu u kojoj je izložio teoriju jednačina za dijeljenje kruga (tj. jednačine xn - 1 = 0), koja je na mnogo načina bila prototip Galoisove teorije. Pored opštih metoda za rešavanje ovih jednačina, uspostavio je vezu između njih i konstrukcije pravilnih poligona. Po prvi put od starogrčkih naučnika napravio je značajan iskorak u ovoj stvari, naime: pronašao je sve one vrijednosti n za koje se može konstruirati pravilan n-ugao pomoću šestara i ravnala. Proučavao sam metodu sabiranja. Zaključio sam da se sistemi jednačina mogu sabirati, dijeliti i množiti.

O. I. Somov - obogatio je različite dijelove matematike značajnim i brojnim radovima, među kojima i teorijom pojedinih algebarskih jednačina viših stupnjeva.

Galois Evariste (1811-1832) - francuski matematičar. Njegova glavna zasluga je formulisanje skupa ideja do kojih je došao u vezi sa nastavkom istraživanja rješivosti algebarskih jednadžbi, koje su započeli J. Lagrange, N. Abel i drugi, te stvorio teoriju algebarskih jednadžbi viši stepen sa jednom nepoznatom.

A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Njegov rad kombinuje geometrijske metode sa analitičkim metodama teorije parcijalnih diferencijalnih jednačina. Njegovi radovi su takođe imali značajan uticaj na teoriju nelinearnih diferencijalnih jednačina.

P. Ruffini - talijanski matematičar. Posvetio je niz radova dokazivanju nerješivosti jednačina stepena 5, sistematski koristeći zatvorenost skupa supstitucija.

Uprkos činjenici da su naučnici dugo proučavali jednačine, nauka ne zna kako i kada su ljudi trebali da koriste jednačine. Poznato je samo da su ljudi rješavali probleme koji vode do rješenja najjednostavnijih jednačina još od vremena kada su postali ljudi. Još 3-4 hiljade godina pre nove ere. e. Egipćani i Babilonci su znali da rešavaju jednačine. Pravilo za rješavanje ovih jednačina poklapa se sa modernim, ali je nepoznato kako su tamo dospjeli.

U starom Egiptu i Babilonu korištena je metoda lažnog položaja. Jednačina prvog stepena sa jednom nepoznatom uvek se može svesti na oblik ax + b = c, u kome su a, b, c celi brojevi. Prema pravilima aritmetičkih operacija, ax = c - b,

Ako je b > c, onda je c b negativan broj. Negativni brojevi su bili nepoznati Egipćanima i mnogim drugim kasnijim narodima (počeli su da se koriste u matematici ravnopravno sa pozitivnim brojevima tek u sedamnaestom veku). Za rješavanje problema koje sada rješavamo jednadžbama prvog stepena, izmišljena je metoda lažnog položaja. U Ahmesovom papirusu 15 problema je riješeno ovom metodom. Egipćani su imali poseban znak za nepoznati broj, koji se donedavno čitao "kako" i prevodio kao "gomila" ("gomila" ili "nepoznati broj" jedinica). Sada čitaju malo manje neprecizno: "da." Metoda rješenja koju koristi Ahmes naziva se metodom jedne lažne pozicije. Pomoću ove metode rješavaju se jednačine oblika ax = b. Ova metoda uključuje dijeljenje svake strane jednačine sa a. Koristili su ga i Egipćani i Babilonci. Različiti narodi su koristili metodu dva lažna stava. Arapi su mehanizirali ovu metodu i dobili oblik u kojem je ona prenijeta u udžbenike evropskih naroda, uključujući i Aritmetiku Magnitskog. Magnitsky naziva rješenje “lažnim pravilom” i piše u dijelu svoje knjige koji opisuje ovu metodu:

Ovaj dio je vrlo lukav, jer uz njega možete staviti sve. Ne samo ono što je u građanstvu, nego i više nauke u svemiru, koje su uvrštene u sferu neba, kako mudri imaju potrebe.

Sadržaj Magnitskyjevih pjesama može se ukratko sažeti na sljedeći način: ovaj dio aritmetike je vrlo lukav. Uz njegovu pomoć možete izračunati ne samo ono što je potrebno u svakodnevnoj praksi, već rješava i "viša" pitanja s kojima se "mudri" suočavaju. Magnitsky koristi “lažno pravilo” u obliku koji su mu dali Arapi, nazivajući ga “aritmetikom dvije greške” ili “metodom skala”. Indijski matematičari često su davali probleme u stihovima. Lotus problem:

Iznad tihog jezera, pola mjere iznad vode, vidjela se boja lotosa. Odrastao je sam, a vetar, kao talas, Sagnuo ga je u stranu, i ne više

Cvijet iznad vode. Ribarsko oko ga je našlo na dva metra od mjesta gdje je odrastao. Koliko je ovdje duboka voda jezera? Postaviću ti pitanje.

Vrste jednadžbi

Linearne jednadžbe

Linearne jednačine su jednačine oblika: ax + b = 0, gdje su a i b neke konstante. Ako a nije jednako nuli, onda jednačina ima jedan jedini korijen: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).

Na primjer: riješite linearnu jednačinu: 4x + 12 = 0.

Rješenje: Kako je a = 4, a b = 12, onda je x = - 12: 4; x = - 3.

Provjerite: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Pošto je 0 = 0, tada je -3 korijen originalne jednadžbe.

Odgovori. x = -3

Ako je a jednako nuli, a b jednako nuli, tada je korijen jednadžbe ax + b = 0 bilo koji broj.

Na primjer:

0 = 0. Pošto je 0 jednako 0, tada je korijen jednadžbe 0x + 0 = 0 bilo koji broj.

Ako je a jednako nuli, a b nije jednako nuli, tada jednačina ax + b = 0 nema korijena.

Na primjer:

0 = 6. Pošto 0 nije jednako 6, onda 0x – 6 = 0 nema korijena.

Sistemi linearnih jednačina.

Sistem linearnih jednačina je sistem u kojem su sve jednačine linearne.

Rešiti sistem znači pronaći sva njegova rešenja.

Prije rješavanja sistema linearnih jednačina, možete odrediti broj njegovih rješenja.

Neka je zadan sistem jednačina: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

Ako a1 podijeljeno sa a2 nije jednako b1 podijeljeno sa b2, tada sistem ima jedno jedinstveno rješenje.

Ako je a1 podijeljeno sa a2 jednako b1 podijeljeno sa b2, ali jednako c1 podijeljeno sa c2, tada sistem nema rješenja.

Ako je a1 podijeljeno sa a2 jednako b1 podijeljeno sa b2 i jednako c1 podijeljeno sa c2, tada sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

Sistem jednačina koji ima barem jedno rješenje naziva se simultani.

Konzistentan sistem se naziva definitivnim ako ima konačan broj rješenja, a neodređenim ako je skup njegovih rješenja beskonačan.

Sistem koji nema jedinstveno rješenje naziva se nedosljednim ili kontradiktornim.

Metode rješavanja linearnih jednačina

Postoji nekoliko načina za rješavanje linearnih jednačina:

1) Metoda odabira. Ovo je najjednostavniji način. Sastoji se od odabira svih važećih vrijednosti nepoznatog nabrajanjem.

Na primjer:

Riješite jednačinu.

Neka je x = 1. Onda

4 = 6. Pošto 4 nije jednako 6, onda je naša pretpostavka da je x = 1 netačna.

Neka je x = 2.

6 = 6. Pošto je 6 jednako 6, onda je naša pretpostavka da je x = 2 bila tačna.

Odgovor: x = 2.

2) Metoda pojednostavljenja

Ova metoda se sastoji u tome da se svi članovi koji sadrže nepoznato prenesu na lijevu stranu, a poznati na desnu sa suprotnim predznakom, dovedu se slični i obje strane jednačine podijele koeficijentom nepoznate.

Na primjer:

Riješite jednačinu.

5x – 4 = 11 + 2x;

5x – 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Odgovori. x = 5.

3) Grafička metoda.

Sastoji se od konstruisanja grafa funkcija date jednačine. Budući da će u linearnoj jednačini y = 0, graf će biti paralelan sa y-osom. Tačka preseka grafika sa x-osom biće rešenje ove jednačine.

Na primjer:

Riješite jednačinu.

Neka je y = 7. Tada je y = 2x + 3.

Nacrtajmo funkcije obje jednačine:

Metode rješavanja sistema linearnih jednačina

U sedmom razredu uče tri načina rješavanja sistema jednačina:

1) Metoda zamjene.

Ova metoda se sastoji u izražavanju jedne nepoznate u terminima druge u jednoj od jednačina. Dobijeni izraz se zamjenjuje u drugu jednačinu, koja se zatim pretvara u jednačinu s jednom nepoznatom, a zatim se rješava. Rezultirajuća vrijednost ove nepoznate zamjenjuje se u bilo koju jednačinu originalnog sistema i pronalazi vrijednost druge nepoznate.

Na primjer.

Riješite sistem jednačina.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y = 4 - 3x.

Zamijenimo rezultirajući izraz u drugu jednačinu:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x – 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Zamijenimo rezultirajuću vrijednost u jednadžbu 3x + y = 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y = 4 – 3; y = 1.

Ispitivanje.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

Odgovor: x = 1; y = 1.

2) Način dodavanja.

Ova metoda je da ako se dati sistem sastoji od jednačina koje, kada se dodaju pojam po član, formiraju jednačinu sa jednom nepoznatom, tada ćemo rješavanjem ove jednačine dobiti vrijednost jedne od nepoznanica. Rezultirajuća vrijednost ove nepoznate zamjenjuje se u bilo koju jednačinu originalnog sistema i pronalazi vrijednost druge nepoznate.

Na primjer:

Riješite sistem jednačina.

/3u – 2h = 5,

\5x – 3y = 4.

Rešimo rezultirajuću jednačinu.

3x = 9; : (3) x = 3.

Zamijenimo rezultirajuću vrijednost u jednačinu 3y – 2x = 5.

3u – 2 3 = 5;

3u = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Dakle, x = 3; y = 3 2/3.

Ispitivanje.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;

Odgovori. x = 3; y = 3 2/3

3) Grafička metoda.

Ova metoda se zasniva na činjenici da se jednačine crtaju u jednom koordinatnom sistemu. Ako se grafovi jednačine seku, tada su koordinate presečne tačke rešenje ovog sistema. Ako su grafovi jednačine paralelni, onda ovaj sistem nema rješenja. Ako se grafovi jednačina spoje u jednu pravu liniju, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

Na primjer.

Riješite sistem jednačina.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Napravimo grafove funkcija y = 2x - 5 i y = 3 - 6x na istom koordinatnom sistemu.

Grafovi funkcija y = 2x - 5 i y = 3 - 6x seku se u tački A (1; -3).

Stoga će rješenje ovog sistema jednačina biti x = 1 i y = -3.

Ispitivanje.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Odgovori. x = 1; y = -3.

Zaključak

Na osnovu svega navedenog možemo zaključiti da su jednadžbe neophodne u savremenom svijetu ne samo za rješavanje praktičnih problema, već i kao naučno sredstvo. Zato je toliko naučnika proučavalo ovo pitanje i nastavlja ga proučavati.

Vrste algebarskih jednadžbi i metode za njihovo rješavanje

Za učenike zainteresovane za matematiku, pri rešavanju algebarskih jednačina viših stepeni, efikasna metoda za brzo pronalaženje korena, deljenje sa ostatkom binomom x -  ili ax + b, je Hornerova šema.

Razmotrite Hornerovu šemu.

Označimo nepotpuni količnik kada P(x) dijelimo sa x –  kroz

Q (x) = b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + ... + b n -1, a ostatak je b n.

Kako je P(x) = Q (x)(x–) + b n, onda vrijedi jednakost

a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n = (b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + … + b n -1)(h– ) + b n

Otvorimo zagrade na desnoj strani i uporedimo koeficijente za iste stepene x na lijevoj i desnoj strani. Dobijamo da je a 0 = b 0 i za 1  k  n vrijede relacije a k = b k -  b k -1. Iz toga slijedi da je b 0 = a 0 i b k = a k +  b k -1, 1  k  n.

Izračun koeficijenata polinoma Q (x) i ostatka b n pišemo u obliku tabele:

a 0

a 1

a 2

A n-1

A n

b 0 = a 0

b 1 = a 1 +  b 0

b 2 = a 2 +  b 1

b n-1 = a n-1 +  b n-2

b n = a n +  b n-1

Primjer 1. Podijelite polinom 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 sa x + 1.

Rješenje. Koristimo Hornerovu šemu.

Kada podijelimo 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 sa x + 1 dobijamo 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Odgovor: 2 x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Primjer 2. Izračunajte P(3), gdje je P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

Rješenje. Koristeći Bezoutovu teoremu i Hornerovu shemu, dobijamo:

Odgovor: P(3) = 535

Vježbajte

Koristeći Hornerov dijagram, podijelite polinom

4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2 na x + 2;

2) Podijelite polinom

2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1 na x + 1;

3) Pronađite vrijednost polinoma P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 za x = 7.

1.1. Pronalaženje racionalnih korijena jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima

Metoda za pronalaženje racionalnih korijena algebarske jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima data je sljedećom teoremom.

Teorema: Ako jednadžba sa cjelobrojnim koeficijentima ima racionalne korijene, onda su oni količnik dijeljenja djelitelja slobodnog člana s djeliteljem vodećeg koeficijenta.

dokaz: a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n = 0

Neka je x = p/ q je racionalni korijen, q, p su međusobno prosti.

Zamjenjujući razlomak p/q u jednačinu i oslobađajući se nazivnika, dobivamo

a 0 r n + a 1 p n -1 q + … + a n -1 pq n -1 + a n q n = 0 (1)

Prepišimo (1) na dva načina:

a n q n = r(– a 0 r n -1 – a 1 r n -2 q – … – a n -1 q n -1) (2)

a 0 r n = q (– a 1 r n -1 –… – a n -1 rq n -2 – a n q n -1) (3)

Iz jednakosti (2) slijedi da je a n q n djeljivo sa p, i pošto q n i p su međusobno prosti, tada je a n deljivo sa p. Slično, iz jednakosti (3) slijedi da je 0 djeljiv sa q. Teorema je dokazana.

Primjer 1. Riješite jednačinu 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0.

Rješenje. Jednadžba nema cjelobrojne korijene; ​​nalazimo racionalne korijene jednadžbe. Neka je nesvodljivi razlomak p /q korijen jednadžbe, tada se p nalazi među djeliteljima slobodnog člana, tj. među brojevima  1, i q među pozitivnim djeliteljima vodećeg koeficijenta: 1; 2.

One. racionalni korijeni jednadžbe moraju se tražiti među brojevima  1,  1/2, označiti P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1)  0, P 3 (–1)  0,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 je korijen jednačine.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

Dobijamo: x 2 (2x – 1) – 3x (2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Izjednačavanjem drugog faktora sa nulom i rješavanjem jednačine dobijamo

odgovor:
,

Vježbe

Riješite jednačine:

6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;

6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;

3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. Recipročne jednačine i metode rješenja

Definicija. Jednačina s cijelim potencijama u odnosu na nepoznatu naziva se recipročna ako su njeni koeficijenti, jednako udaljeni od krajeva lijeve strane, međusobno jednaki, tj. jednačina oblika

A x n + bx n -1 + cx n -2 + … + cx 2 + bx + a = 0

Recipročna jednačina neparnog stepena

A x 2 n +1 + bx 2 n + cx 2 n -1 + … + cx 2 + bx + a = 0

uvijek ima korijen x = – 1. Prema tome, to je ekvivalentno kombinovanju jednačine x + 1 = 0 i  x 2 n +  x 2 n -1 + … +  x +  = 0. Posljednja jednačina je a recipročna jednačina parnog stepena. Dakle, rješavanje recipročnih jednačina bilo kojeg stepena svodi se na rješavanje recipročne jednačine parnog stepena.

Kako to riješiti? Neka je data recipročna jednačina parnog stepena

A x 2 n + bx 2 n -1 + … + dx n +1 + ex n + dx n -1 + … + bx + a = 0

Imajte na umu da x = 0 nije korijen jednadžbe. Zatim podijelimo jednačinu sa x n, dobijemo

A x n + bx n -1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1- n + ax -n = 0

Grupiramo članove lijeve strane u parove

A( x n + x - n ) + b (x n -1 + x -(n -1) + … + d(x + x -1 ) + e = 0

Napravimo zamjenu x + x -1 = y. Nakon zamjene izraza x 2 + x -2 = y 2 – 2;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 u jednačinu dobijamo jednačinu za at Au n + By n -1 +Cy n -2 + … + Ey + D = 0.

Da biste riješili ovu jednačinu, potrebno je riješiti nekoliko kvadratnih jednadžbi oblika x + x -1 = y k, gdje je k = 1, 2, ... n. Tako dobijamo korijene originalne jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednačinu x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0.

Rješenje. x = – 1 je korijen jednačine. Primijenimo Hornerovu shemu.

Naša jednačina će imati oblik:

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | : x 3  0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

Grupisanjem dobijamo: .

Hajde da predstavimo zamjenu:
;
;
.

Dobijamo relativno at jednačina: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y 3 + y 2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1)(y 2 – 9); y 1 = -1, y 2,3 =  3.

Rješavanje jednačina
,
,
,

dobijamo korijene:
,
,
,

Odgovor: x 1 = -1,
,

Vježbe

Riješite jednačine.

2x 5 + 5x 4 – 13x 3 – 13x 2 + 5x + 2 = 0;

2x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 2 = 0;

15x 5 + 34x 4 + 15x 3 – 15x 2 – 34x – 15 = 0.

1.3. Metoda zamjene varijable za rješavanje jednačina

Metoda zamjene varijable je najčešća metoda. Umjetnost promjenjive promjene je vidjeti koja promjena ima najviše smisla i koja će brže dovesti do uspjeha.

Ako je data jednačina

F(f(x)) = 0, (1)

onda se zamjenom nepoznatog y = f (x) prvo svodi na jednačinu

F(y) = 0, (2)

a zatim se nakon pronalaženja svih rješenja jednadžbe (2) y 1, y 2, ..., y n, ... svodi na rješavanje skupa jednadžbi f (x) = y 1, f (x) = y 2 ,..., f (x) = y 2,...

Glavni načini implementacije metode zamjene varijable su:

korištenje osnovnog svojstva razlomka;

isticanje kvadrata binoma;

prelazak na sistem jednačina;

otvorne zagrade u paru;

otvaranje zagrada u paru i dijeljenje obje strane jednačine;

smanjenje stepena jednačine;

dvostruka zamjena.

1.3.1. Smanjenje snage jednadžbe

Riješite jednačinu (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3)

Rješenje. Označimo x 2 + x + 2 = y, zatim uzmimo y (y + 1) = 6, rješavajući ovo drugo, dobićemo y 1 = 2, y 2 = -3. Ova jednadžba (3) je ekvivalentna skupu jednačina x 2 + x + 2 = 2

x 2 + x + 2 = -3

Rješavajući prvi, dobijamo x 1 = 0, x 2 = -1. Rešavajući drugu, dobijamo
,

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. Jednačina četvrtog stepena oblika (x + a)(x +b )(x + c )(x + d ) = m , gdje je a + b = c + d, ili a + c = b + d, ili a + d = b + c.

Primjer. Riješite jednačinu (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40

Rješenje. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, množenjem ovih parova zagrada, dobijamo jednačinu (x 2 - 5x - 14)(x 2 - 5x + 4) = 40

Hajde da uvedemo zamenu: x 2 - 5x – 14 = y, dobijamo jednačinu y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0. y 1 = -20, y 2 = 2. Vraćajući se na originalnu varijablu, rješavamo skup jednačina:

X 2 - 5x – 14 = - 20 x 1 = 2; x 2 = 3

x 2 - 5x – 14 = 2 x 3,4 =

Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 3 x 3.4 =

1.3.3. Jednadžba oblika (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Primjer 2,

Gdje ab = cd, ili ac =bd, ili ad = bc. Otvorite zagrade u parovima i podijelite oba dijela sa x 2  0.

Primjer. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x 2

Rješenje. Umnožak brojeva u prvoj i trećoj i u drugoj i četvrtoj zagradi jednak je, tj. – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Pomnožimo naznačene parove zagrada i napišemo jednačinu (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2.

Kako x = 0 nije korijen jednadžbe, obje strane jednačine dijelimo sa x 2  0, dobijamo:
, zamjena:
, originalna jednačina će imati oblik:t(t+3) =4, t 2 + 3 t=4, t 2 + 3 t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Vratimo se na originalnu varijablu:

x 2 - 10x + 8 = 0

x 2 - 5x + 8 = 0

Rješavamo prvu jednačinu, dobijamo x 1,2 = 5 

Druga jednadžba nema korijen.

Odgovor: x 1,2 = 5 

1.3.4. Jednadžba četvrtog tipa (ax 2 + b 1 x + c)(a x 2 + b 2 x + c) = A x 2

Jednačina (os 2 + b 1 x+ c)(a x 2 + b 2 x + c) = A x 2, gdje c  0, A  2
, koji nakon zamjene nepoznatog
može se prepisati kao kvadrat i može se lako riješiti.

Primjer. (x 2 + x+ 2)(x 2 + 2x + 2) = 2x 2

Rješenje. Lako je vidjeti da x = 0 nije korijen ove jednadžbe dijeljenjem ove jednačine sa x 2 , dobijamo jednačinu

zamjena
, dobijamo jednačinu (y+1)(y+2) = 2, rješavajući je, imamo korijene y 1 = 0; u 2 = - 3, stoga je originalna jednadžba ekvivalentna skupu jednadžbi

rješavajući, dobijamo x 1 = -1; x 2 = -2.

Odgovor: x 1 = -1; x 2 = -2

1.3.5. Jednadžba oblika: a (cx 2 + p 1 x + q) 2 + b (cx 2 + p 2 x + q) 2 = Ax 2

Jednačina a(cx 2 + str 1 x + q) 2 + b(cx 2 + str 2 x + q) 2 = Sjekira 2 gdje a, b, c, q, A su takvi da q 0, A 0, c 0, a 0, b 0 nema korijen x = 0, pa se jednačina dijeli sa x 2 , dobijamo ekvivalentnu jednačinu
, koji nakon zamjene
može se prepisati kao kvadratna jednačina koja se može lako riješiti. + 1)( x 2 – 14x + 15 = 0

x 2 – 7 x + 15 = 0

odgovor: