حلقه ای از چند جمله ای ها در یک متغیر بر روی یک میدان. میدان های محدود بر اساس حلقه های چند جمله ای. حلقه چند جمله ای در چندین متغیر
فصل یازدهم. چند جمله ای ها.
حلقه چند جمله ای در یک متغیر بیش از
حلقه تداعی – جابه جایی با هویت
تعریف 1. اجازه دهید ک-حلقه تداعی-تبدیلی با هویت. چند جمله ای روی حلقه K در متغیر xعبارتی از فرم، Where نامیده می شود یک منÎ ک، و فقط تعداد محدودی از عناصر یک من≠0.
یک منتماس گرفت ضریب چند جمله ای f(ایکس)در درجه I
مجموعه همه چند جمله ای های روی حلقه K در متغیر xنشان داده شده با ک[ایکس].
تعریف 2. اجازه دهید f(ایکس) و g(ایکس) ، جایی که کیک حلقه تداعی - جابه جایی با هویت است. چند جمله ای ها f(ایکس) و g(ایکس) نامیده می شوند برابر(از نظر جبری) در صورتی که ضرایب آنها به ترتیب برای همان درجات برابر باشد ایکس.
تعریف 3. چند جمله ای صفرچند جمله ای است که ضرایب آن همه برابر 0 است و 0=0 نشان داده می شود ایکس).
تعریف 4. اجازه دهید ک- f(ایکس) , f(ایکس)≠0(ایکس). عدد nتماس گرفت درجه چند جمله ای fو تعیین شده است درجه f = n، اگر a n باشد≠0 و یک من= 0 در من>n
طبق تعریف، فرض می‌شود که درجه چند جمله‌ای صفر برابر است با. درجه 0(ایکس) .
بنابراین، اگر، پس درجه(درجهℕ {0}).
طبق تعریف 2، با جمع یا کنار گذاشتن عبارات با ضرایب صفر، چند جمله ای برابر با داده شده به دست می آوریم. بنابراین، هر چند جمله ای درجه nرا می توان به صورت نوشت
سپس یک 0تماس گرفت رایگانیا دائمی عضوچند جمله ای f(ایکس), a n - ضریب ارشدچند جمله ای f(ایکس).
تعریف 5. اجازه دهید ک-حلقه تداعی-تبدیلی با هویت، , , و n≥متر
عملیات جمع و ضرب چند جمله ای از ک[ایکس] توسط قوانین تعیین می شوند
قضیه 1 . فرض کنید K یک حلقه انجمنی-تبدیلی غیر صفر با هویت باشد. سپس ک[ایکس]در مورد عملیات طبق قوانین(1 )و(2 )– همچنین یک حلقه تداعی-تبدیلی با هویت است 1(ایکس)= 1.
اثبات بیایید بررسی کنیم ک[ایکس] همه بدیهیات یک حلقه تداعی-تبدیلی با هویت.
1. ک[ایکس]¹Æ، برای مثال، 0( ایکس)Î ک[ایکس]، زیرا تمام ضرایب آن برابر با 0O است ک.
2. عملیات "+" و "⋅" طبق قوانین (1) و (2) جبری هستند. ک[ایکس] (یعنی ک[ایکس] تحت این عملیات بسته شده است). در واقع، اجازه دهید f(ایکس) و g(ایکس)Î ک[ایکس]، از فرمول های (1) و (2) نتیجه می شود که ضرایب چند جمله ای ها f(ایکس)+g(ایکس) و f(ایکس)⋅g(ایکس) با جمع و ضرب ضرایب به دست می آیند f(ایکس) و g(ایکس), آن ها عناصر از ک.به دلیل بسته بودن حلقه کدر مورد جمع و ضرب، ضرایب چند جمله ای f(ایکس)+g(ایکس) و f(ایکس)⋅g(ایکس) تعلق داشتن ک. به این معنا که f(ایکس)+g(ایکس)Î ک[ایکس] و f(ایکس)⋅g(ایکس)Î ک[ایکس].
3.
الف) "+" در ارتباط است ک[ایکس]: "f(ایکس)، g(ایکس)، h(ایکس)Î ک[ایکس] (f(ایکس)+g(ایکس))+ساعت(ایکس)=f(ایکس)+(g(ایکس)+ساعت(ایکس))
ب) "+" در حالت جابجایی است ک[ایکس]: "f(ایکس)، g(ایکس)Î ک[ایکس] f(ایکس)+g(ایکس)=g(ایکس)+f(ایکس)
ج) 0 وجود دارد ( ایکس)=0+0⋅ایکس+0⋅ایکس 2 +…+0⋅x n+… Î ک[ایکس] طوری که " О ک[ایکس] : =
به همین ترتیب، 
د) "О ک[ایکس] وجود دارد О ک[ایکس] به طوری که
=
0+0⋅ایکس+0⋅ایکس 2 +…+0⋅x n = 0(ایکس). به همین ترتیب 
=
0(ایکس).
4. که درک[ایکس]قوانین توزیع انجام می شود:
د)" f(ایکس)، g(ایکس)، h(ایکس)Î ک[ایکس] (f(ایکس)+g(ایکس))⋅ساعت(ایکس)=f(ایکس)⋅ ساعت(ایکس)+g(ایکس)⋅ساعت(ایکس)
ساعت(ایکس) ⋅ (f(ایکس)+g(ایکس))=h(ایکس)⋅f(ایکس)+ساعت(ایکس)⋅g(ایکس)
بدین ترتیب، ک[ایکس] - حلقه.
5. بیایید آن را نشان دهیمک[ایکس]– حلقه تداعی – جابجایی با ۱.
و) "⋅" تداعی کننده است ک[ایکس]: "f(ایکس)، g(ایکس)، h(ایکس)Î ک[ایکس] (f(ایکس)⋅g(ایکس))⋅ساعت(ایکس)=f(ایکس)⋅(g(ایکس)⋅ساعت(ایکس))
g) "⋅" جایگزینی در است ک[ایکس]: "f(ایکس)، g(ایکس)Î ک[ایکس] f(ایکس)⋅g(ایکس)=g(ایکس)⋅f(ایکس)
ح) ب ک[ایکس]یک واحد چند جمله ای 1 وجود دارد( ایکس)= 1+0⋅ایکس+0⋅ایکس 2 +…+0⋅x n +…Î ک[ایکس]c ضرایب ب 0 =1, b i=0 برای دیگران من. " Î ک[ایکس]
اعتبار a)، b)، e)، f)، g) از این واقعیت ناشی می شود که عملیات "+" و "⋅" روی چند جمله ای ها به عملیات مربوطه در ضرایب آنها کاهش می یابد - عناصر از ک، و در رینگ ک"+" و "⋅" قوانین جابجایی، انجمنی و توزیعی هستند.
قضیه ثابت شده است.
درجه چند جمله ای ویژگی های درجه یک چند جمله ای
قضیه 2 . فرض کنید K یک حلقه انجمنی-جایگزینی غیر صفر با هویت، , . سپس:
1) درجه(+ حداکثر (درجه، درجه)؛
میدان‌های محدود را می‌توان از حلقه‌های چندجمله‌ای درست کرد، همانطور که میدان‌ها از حلقه اعداد صحیح ساخته شدند. بگذارید حلقه ای از چندجمله ای ها وجود داشته باشد F[x]بر فراز میدان اف.درست مثل اینکه برای حلقه ساخته شده اند ز،حلقه های رابطه، همچنین می توانید حلقه های رابطه را برای حلقه بسازید F[x].انتخاب کردن از F[x]چند جمله ای دلخواه p(x)می توان با استفاده از حلقه رابطه تعریف کرد p(x)به عنوان یک ماژول برای تعیین محاسبات این حلقه. ما خود را به در نظر گرفتن تنها چند جمله‌ای‌های کاهش‌یافته محدود می‌کنیم، زیرا این محدودیت عدم قطعیت غیرضروری را در ساخت‌وساز حذف می‌کند.
تعریف 2.4.1.برای یک چند جمله ای کاهش یافته دلخواه p(x)درجه غیر صفر در میدان F حلقه ای از چندجمله ای ها است mod p(x)مجموعه همه چند جمله ای های over نامیده می شود اف،که درجه آن از درجه چند جمله ای تجاوز نمی کند p(x)، sعملیات جمع و ضرب چند جمله ای مدول p(x).این حلقه معمولا با نشان داده می شود F(x)/(p(x)).
عنصر دلخواه r(x)حلقه F[x]را می توان به یک عنصر حلقه نگاشت کرد РF[х]/(р(х))با استفاده از تطبیق r(x)-ر R(X).دو عنصر تبر)و b(x)از جانب F[x]،نگاشت به همان عنصر از F[x]/(p(x))،قابل مقایسه نامیده می شوند:
a(x) = b(x)(Mod p(x)).
سپس b(x)= اوه)+Q (x) p (x)برای چند جمله ای Q(x).
قضیه 2.4.2.مجموعه F1x]/(p(x)) یک حلقه است.
اثباتبه عنوان تمرین در اختیار خواننده قرار می گیرد.
اجازه دهید در حلقه چندجمله ای ها را انتخاب کنیم GF(2)، به عنوان مثال، چند جمله ای p(x)= x 3+ 1 . سپس حلقه چند جمله ای های مدول p(x)برابر است GF(2) [x]/(x 3 + 1). از عناصر تشکیل شده است
{0، 1، x، x+1، x 2، x 2 +1، x 2 + x، x 2 + x + 1).در این حلقه ضرب به عنوان مثال به صورت زیر انجام می شود:
(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 + x) = x 2 + x،
که در آن کاهش طبق قانون x 4 = استفاده می شود x (x 3+ 1) + ایکس.
قضیه 2.4.3.حلقه ای از چند جمله ای ها با مدول چند جمله ای کاهش یافته p(x) میدانی است اگر و فقط اگر چند جمله ای p(x) ساده باشد (به یاد بیاورید که یک چند جمله ای ساده هم تقلیل ناپذیر و هم کاهش می یابد. برای ساخت میدان، فقط تقلیل ناپذیری p(x) کافی است، اما ما موافقت کردیم که فقط چندجمله‌ای کاهش‌یافته را در نظر بگیریم، بنابراین نتایج بیشتر کلی‌تر نیستند.
اثباتچند جمله ای را بگذارید p(x)ساده برای اثبات اینکه حلقه مورد نظر یک میدان را تشکیل می دهد، کافی است نشان دهیم که هر عنصر غیر صفر دارای یک معکوس ضرب است. اجازه دهید s (ایکس)- برخی از عناصر غیر صفر حلقه. سپس درجه (ایکس)< درجه p(x).از چند جمله ای p(x)ساده است، سپس GCD = 1. بر اساس نتیجه 2.3.7
GCD = 1 =a(x)p(x) + b(x) s (x)
برای برخی از چند جمله ای ها اوه)و b(x).از این رو،
1 = آر p(x)[ 1] = آر p(x)=آر p(x){ آر p(x) همیشه با توابع مختلف مطابقت دارد.
درباره باقی مانده ها (WHO). قضیه. اجازه دهید اعداد همزمان اول به صورت زوجی، =، ...، انتخاب شوند تا 1، =، . سپس راه حل سیستم به صورت زیر خواهد بود: این قضیه زیربنای روش مبانی متعامد هنگام انتقال از سیستم طبقات باقیمانده به سیستم اعداد موقعیتی است. اجازه دهید پایه های سیستم طبقات باقیمانده. = = - حجم محدوده سیستم. انتخاب سیستم تعیین کننده آن است...
4. روابط دودویی. ریاضیات به عنوان یک علم منعکس کننده دنیای تعامل اشیاء ساده و پیچیده (چیزها، پدیده ها، فرآیندها) است. ریاضیات با انتزاع از واقعیت، روابط تک، دوتایی و غیره را در نظر می گیرد. این سوال مستلزم در نظر گرفتن روابط باینری، ویژگی های آنها و توجه ویژه به رابطه هم ارزی تعریف شده در یک مجموعه است. بیایید در نظر بگیریم ...
X*y. فیلد یک حلقه جابجایی انجمنی با واحد k است که در آن هر عنصر غیر صفر معکوس است: . بنابراین، طبق تعریف، فیلد مقسوم‌کننده‌ی صفر ندارد. حلقه مجموعه ای است با دو عمل جبری R (+، *) اگر: 0. عناصر معکوس حلقه R آنهایی هستند که نسبت به عمل ضرب معکوس دارند، مجموعه R در این مورد ...
با کار در زمینه مهندسی برق، به امکان ایجاد فناوری ذخیره سازی داده ها که استفاده اقتصادی تر از فضا را فراهم می کند، علاقه مند شدم. یکی از آنها کلود الوود شانون، بنیانگذار نظریه اطلاعات مدرن بود. از پیشرفت های آن زمان، الگوریتم های فشرده سازی هافمن و شانون-فانو بعداً کاربرد عملی پیدا کردند. و در سال 1977، ریاضیدانان جیکوب زیو و آبراهام لمپل...
1. حلقه چند جمله ای بر روی یک میدان
اجازه دهید یک میدان دلخواه باشد. نماد مجموعه ای از همه چند جمله ای ها را در یک متغیر (از همه درجات ممکن) نشان می دهد که ضرایب آن از فیلد گرفته می شود:
دو عمل بر روی این مجموعه تعریف شده است: دو چند جمله ای را می توان با توجه به قوانین شناخته شده اضافه و ضرب کرد. عملیات جمع و ضرب چندجمله ای ها بدیهیات 1-7 و 9 میدان (یعنی همه به جز هشتم) را برآورده می کند. همانطور که در بالا ذکر شد، به چنین مجموعه ای از اشیاء حلقه می گویند. بنابراین، حلقه ای از چند جمله ای ها در بالای میدان است.
مثال دیگری از حلقه حلقه اعداد صحیح است. معلوم می شود که ویژگی های اساسی اعداد صحیح پیامدهای بدیهیات 1-7، 9 هستند و بنابراین در هر حلقه ای معتبر باقی می مانند. به طور خاص، اجازه دهید خواص اعداد صحیح مربوط به بخش پذیری را به چند جمله ای ها منتقل کنیم. درجه یک چند جمله ای را با نشان می دهیم.
تقسیم پذیری چندجمله ای ها
یک چند جمله ای به چند جمله ای تقسیم پذیر گفته می شود اگر بتوان چند جمله ای را پیدا کرد به طوری که 
. همچنین می گویند تقسیم می کند و به شکل می نویسند .
تقسیم با باقیمانده
برای هر دو چند جمله ای و , می توان چند جمله ای ها را پیدا کرد و مانند آن
چند جمله ای ها را می توان با الگوریتم معروف تقسیم "گوشه" پیدا کرد. توجه داشته باشید که اگر ضریب مقسوم علیه پیشرو باشد، محاسبات ساده می شوند. همیشه می توان با قرار دادن براکت ها به این امر دست یافت: . اینجا 
– مقسوم علیه با ضریب پیشرو 1، a 
- یک ضریب جدید، که در صورت لزوم، می توانید از آن بازیابی کنید.
این طرح برای محاسبات ماشینی مناسب است.
طرح محاسباتی برای تقسیم با باقیمانده
(5)
با جایگزینی (4) و (5) به (3) و مقایسه ضرایب برای، سیستم را بدست می آوریم.
. (6)
. (7)
شرط جمع در این مجموع این است که شاخص های ضرایب باید از 0 تا توان چند جمله ای متغیر باشد:
بنابراین، شاخص جمع باید در داخل متفاوت باشد
برای مثال با (6) شکل می گیرد 
، به این معنا که .
اگر، پس، بنابراین،
,
زیرا . توجه داشته باشید که علامت مجموع با شاخص های بزرگتر از وارد می شود که امکان محاسبه متوالی آنها را فراهم می کند. بنابراین، ضرایب ضریب و باقیمانده هنگام تقسیم دو چند جمله ای را می توان با استفاده از طرح زیر یافت:
1 درجه ما معتقدیم.
2 درجه. برای محاسبه ما 
و ما معتقدیم
.
3 درجه. برای محاسبه ما و ما معتقدیم
.
جملاتی در مورد چند جمله ای ها
حقایق شناخته شده در مورد چند جمله ای ها از فرمول (3) برای تقسیم با باقی مانده به دست می آید.
1. قضیه 1(بزو). Let and a یک عنصر دلخواه میدان باشد. سپس باقیمانده تقسیم بر چند جمله ای برابر با عنصر است.
در واقع، نوشتن (2.3) برای این مورد، به دست می آوریم
جایی که چند جمله ای درجه صفر است، یعنی عنصری از میدان. با جایگزینی، به این برابری، ما دریافت می کنیم.
2. اگر، یعنی ریشه باشد، تقسیم بر .
این به طور مستقیم از 1 دنبال می شود.
3. یک چند جمله ای درجه در هر زمینه ای حداکثر ریشه دارد.
از این واقعیت به دست می آید که پس از تقسیم بر توان چند جمله ای به 1 کاهش می یابد.
4. اگر چند جمله ای بر :
,
و ضریب دوباره تقسیم بر , سپس تقسیم بر . در این حالت ریشه را مضرب می گویند. با تعریف مشتق رسمی یک چند جمله ای به عنوان چند جمله ای، به راحتی می توان تأیید کرد که تمام قوانین تمایز معتبر هستند. به عنوان مثال، اگر
,
بنابراین، اگر ریشه چند جمله ای چند جمله ای باشد، آن چند جمله ای و مشتق آن بر . برعکس، اگر معلوم شود که یک چند جمله ای و مشتق آن هیچ مقسوم علیه مشترک درجه بالاتر از صفر ندارند، همه ریشه های چند جمله ای متفاوت هستند.
2. الگوریتم اقلیدسی
بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو چند جمله ای را چند جمله ای می گویند به طوری که
2) اگر و، سپس .
نامگذاری قبلی: 
.
قضیه 2.اگر 
، سپس چند جمله ای ها و مانند آن وجود دارد
اثبات همان است که برای حلقه اعداد صحیح است.
اظهار نظر. در تعریف ابهاماتی وجود دارد، به این دلیل است که اگر d(x) بزرگترین مقسوم علیه چندجمله ای ها باشد و و یک عنصر غیرصفر دلخواه میدان باشد، چند جمله ای نیز شرایطی را برآورده می کند. 1) و 2). برعکس، اگر و 
، آنگاه چند جمله ای ها یکدیگر را تقسیم می کنند و این تنها در صورتی امکان پذیر است که 
، (). بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو چند جمله ای بر روی یک میدان تا یک عامل - عنصر تعیین می شود. این ابهام را می توان با الزام ضریب پیشرو برابر با یک برطرف کرد. در این راستا، شرط عادی سازی را به تعریف اضافه می کنیم
3) ضریب پیشرو برابر با یک است.
در حلقه، می توانید از الگوریتم اقلیدسی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک و طرح محاسباتی آن استفاده کنید. بیایید خود را به یک مثال محدود کنیم.
مثال. بزرگترین مقسوم علیه مشترک چند جمله ای ها را در یک حلقه پیدا کنید
و 
،)، و بنابراین
; یا، سپس (با در نظر گرفتن شرط عادی سازی در تعریف بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندجمله ای ها).
سخنرانی7.
حلقه چند جمله ای در یک مجهول
تعریف چند جمله ای . از درس مدرسه مشکل حل معادله درجه دوم فرم را می دانیم
جایی که 
. حل معادله (7.1) به معنای یافتن چنین مقداری از مجهول است 
، که وقتی به معادله ( محمول
) (7.1) آن را به یک هویت عددی تبدیل می کند ( به یک بیانیه واقعی
).
مثال 7.1.مجموعه صدق یک محمول را پیدا کنید
.
راه حل، تبدیل یکسان سمت راست گزاره نشان داده شده را در نظر بگیرید:
.
با برابر کردن آخرین عبارت با صفر، فرمول را بدست می آوریم
,
که مقادیر مجهول هایی را می دهد که محمول را معکوس می کنند 
به یک بیانیه واقعی بنابراین، حقیقت مجموعه 
محمول 
به طور کلی از دو عنصر تشکیل شده است
,
که مقادیر آن از طریق مقادیر ضرایب سه جمله ای درجه دوم محاسبه می شود. 
. اصطلاح 
، ایستاده در زیر علامت ریشه مربع، نامیده می شود ممیز
معادلات 
. سه مورد ممکن است:
1)
- در این صورت مجموعه صدق محمول از یک عدد حقیقی تشکیل شده است 
(معادله درجه دوم 
یک ریشه واقعی دارد)؛
2)
- در این حالت مجموعه صدق محمول از دو عدد حقیقی تشکیل شده است که با استفاده از فرمول های نوشته شده در بالا (معادله درجه دوم) محاسبه می شود. 
دو ریشه واقعی دارد)
3)
- در این مورد، مجموعه صدق محمول از دو عدد مزدوج مختلط تشکیل شده است:
(معادله 
دارای ریشه های مزدوج پیچیده است). 
در حالت کلی به مسئله حل می رسیم معادلات
-
درجه ام نسبت به یک ناشناخته
شانس 
که در نظر خواهیم گرفت اعداد مختلط دلخواه
، و ضریب پیشرو 
. حل معادله (7.2) به معنای یافتن چنین مقادیری از مجهولات است 
، که با جایگزینی معادله (7.2)، آن را به یک هویت عددی تبدیل می کند. مسئله حل معادله (7.2) با یک مسئله کلی تر جایگزین می شود مطالعه سمت چپ این معادله
.
تعریف 7.1. چند جمله ای
، یاچند جمله ای درجه 
از یک ناشناخته 
(یا نامه ها
)بیان رسمی فرم نامیده می شود
, (7.3)
یعنی مجموع جبری صوری توان های غیر منفی مجهول 
، با برخی، به طور کلی، ضرایب پیچیده گرفته می شود 
,
,
,
,
.
چند جمله ای ها با حروف مختلف الفبای لاتین و یونانی، بزرگ و کوچک نشان داده می شوند.
درجه چند جمله ای
(7.3) بالاترین درجه نامیده می شود 
ناشناخته 
، که در آن ضریب 
. چند جمله ای خالی
درجه
چند جمله ای متشکل از یک عدد مختلط غیر صفر است. عدد صفر نیز چند جمله ای است که میزان آن مشخص نیست
.
درجه چند جمله ای 
، در صورت لزوم، برای مثال با یک زیرنویس نشان داده می شود 
، یا نماد 
. همراه با نوشتن چند جمله ای ها به شکل (7.3)، اغلب از شکل نشانه گذاری در توان های افزایشی استفاده می شود. 
، به این معنا که
تساوی، مجموع و حاصل ضرب چندجمله ای ها . چند جمله ای ها را می توان با هم مقایسه کرد و عملیات جمع و ضرب را روی آنها انجام داد.
تعریف 7.2. دو چند جمله ای 
و 
در نظر گرفته شده اندبرابر
و بنویس 
اگر و فقط اگر ضرایب آنها برای همان درجات مجهول برابر باشد 
.
هیچ چند جمله ای که حداقل یک ضریب آن غیر صفر باشد، نمی تواند برابر با صفر باشد. بنابراین علامت مساوی در معادله 
درجه ام ربطی به برابری چندجمله ای ها ندارد.
در تحلیل ریاضی تساوی چندجمله ای ها 
برابری دو تابع در نظر گرفته می شود، یعنی
.
اگر چندجمله‌ای‌ها در تعریف 7.2 برابر باشند، از نظر برابری توابع نیز برابر هستند. عکس آن نتیجه قضیه اساسی جبر چند جمله ای است که در زیر فرمول بندی شده است.
اجازه دهید دو عملیات جبری روی چند جمله‌ای با ضرایب مختلط (در حالت کلی) معرفی کنیم: علاوه بر این و ضرب .
تعریف 7.3. بگذارید دو چند جمله ای داده شود
,
,
,
.
برای قطعیت، بگذارید بگذارید 
.
میزان
از این چند جمله ای ها چند جمله ای نامیده می شود
که ضرایب آن برابر با مجموع ضرایب همان درجات مجهول است 
:
.
علاوه بر این، اگر 
ایمان داشتن.
توجه داشته باشید که درجه مجموع دو چند جمله ای در 
مساوی با 
، و وقتی که 
شاید کمتر 
، یعنی چه زمانی 
.
تعریف 7.4. کار چند جمله ای ها
,
,
,
چند جمله ای نامیده می شود
که ضرایب آن با فرمول بدست می آید
,
.
(7.4)
بنابراین، ضریب حاصلضرب دو چند جمله ای با شاخص 
برابر با مجموع همه حاصلضرب های ممکن ضرایب چندجمله ای هاست 
و 
، مجموع شاخص ها برابر است با 
، برای مثال:
,
,
,
.
از آخرین برابری که داریم 
. از این رو، درجه حاصلضرب دو چند جمله ای برابر است با مجموع درجات این چندجمله ای ها:
طبق تعریف، اعتقاد بر این است که درجه چند جمله ای
.
به نتیجه زیر رسیدیم.
لم 7.1. اجازه دهید 
و 
- دو چند جمله ای سپس محصول آنها.
مثال 7.2.اجازه دهید دو چند جمله ای با درجات مختلف داده شود، برای مثال،
,
.
سپس مجموع و حاصلضرب آنها به ترتیب عبارتند از:
.
بنابراین، در مجموعه چند جمله ای با ضرایب مختلط، دو عملیات جبری باینری معرفی می شود. - اضافه کردن و ضرب . خواص این عملیات با قضیه زیر مشخص می شود.
قضیه 7.1. مجموعه همه چند جمله ای ها با ضرایب مختلط یک حلقه جابجایی و تداعی با هویت است..
اثبات قضیه به بررسی بدیهیات حلقه خلاصه می شود و ما آن را حذف می کنیم. فقط توجه داشته باشیم که صفر برای عمل جمع، عدد (چند جمله ای) است. 
، و واحد عملیات ضرب یک عدد است (چند جمله ای) 
.
حلقه چند جمله ای ها را با نشان می دهند 
، جایی که 
- نماد میدانی که چند جمله ای روی آن تعریف شده است. بنابراین، قضیه 7.1 بیان می کند: مجموعه همه چند جمله ای ها با ضرایب مختلط یک حلقه است. 
.
تقسیم پذیری چندجمله ای ها
. چند جمله ای 
چند جمله ای معکوس دارد 
، اگر و تنها اگر 
- چند جمله ای صفر درجه در واقع، اگر 
، سپس چند جمله ای معکوس 
. اگر 
، سپس درجه سمت چپ 
به شرطی که 
وجود دارد، نباید کمتر باشد 
، اما سمت راست آخرین تساوی چند جمله ای درجه صفر است. بنابراین، در حلقه چند جمله ای 
عمل تقسیم معکوس برای عملیات ضرب وجود ندارد
. با این حال، در حلقه چند جمله ای، وجود دارد الگوریتم تقسیم با باقیمانده
.
قضیه 7.2. برای هر دو چند جمله ای 
و 
چنین چند جمله ای وجود دارد 
و 
، چی
, (7.5)
کجا، یا 
. نمایش (7.5) منحصر به فرد است.
اثبات اجازه دهید 
و 
. بیایید چند جمله ای ها را نشان دهیم 
و 
مانند
اگر 
یا 
، سپس (7.5) را وارد می کنیم
,
.
سپس، بدیهی است که (7.5) راضی است. بنابراین اجازه دهید که فرض کنیم 
. بگذاریم:
.
(7.6)
اجازه دهید ضریب پیشرو چند جمله ای را نشان دهیم 
از طریق 
. بدیهی است که 
. اگر 
، سپس قرار می دهیم:
.
(7.7)
ضریب پیشرو چند جمله ای 
بیایید نشان دهیم 
. اگر 
، سپس بیایید آن را دوباره قرار دهیم
(7.8)
و غیره درجه 
چند جمله ای ها 
، بدیهی است کاهش می یابد. پس از تعداد محدودی از مراحل به ما می رسد
,
(7.9)
کجا یا 
، یا 
. پس از این، روند متوقف می شود.
با اضافه کردن برابری های (7.6) - (7.9) دریافت می کنیم
نشان دادن مبلغ داخل پرانتز 
، آ 
، (7.5) را به دست می آوریم و یا 
، یا مدرک 
.
اجازه دهید منحصر به فرد بودن (7.5) را ثابت کنیم. اجازه دهید 
کجا یا 
، یا . از (7.5) و (7.11) داریم:
درجه چند جمله ای سمت چپ آخرین تساوی کمتر از درجه نیست 
و درجه چند جمله ای سمت راست یا صفر یا کمتر از درجه است 
. بنابراین آخرین برابری فقط برای برابری ها قانع می شود
,
.
چند جمله ای 
در فرمول (7.5) نامیده می شود خصوصی
از تقسیم یک چند جمله ای 
به یک چند جمله ای 
، و چند جمله ای 
تماس گرفت بقیه
از این تقسیم اگر 
، سپس می گویند که چند جمله ای 
قابل تقسیم بر چند جمله ای
که نامیده می شود مقسوم علیه چند جمله ای
. بیایید دریابیم که چند جمله ای 
قابل تقسیم بر چند جمله ای 
.
قضیه 7.3. چند جمله ای 
قابل تقسیم بر چند جمله ای
اگر و فقط اگر چنین چند جمله ای وجود داشته باشد 
، چی
.
(7.12)
اثبات در واقع، اگر 
تقسیم بر 
، سپس به عنوان 
شما باید ضریب تقسیم را بگیرید 
بر 
. برعکس، اجازه دهید یک برابری ارضا کننده چند جمله ای (7.12) وجود داشته باشد. سپس از آنچه در قضیه 7.1 ثابت شد. منحصر به فرد بودن چند جمله ای ها 
و 
در نمایندگی (7.5) و شرایطی که درجه 
درجه کمتر 
، نتیجه می شود که ضریب تقسیم 
بر 
برابر است 
، و بقیه 
.
نتیجه قضیه 7.3.اگر چند جمله ای 
و مقسوم علیه آن 
دارای ضرایب گویا یا واقعی، سپس ضرایب 
همچنین دارای ضرایب منطقی یا واقعی خواهد بود.
مثال 7.3.با باقیمانده چند جمله ای تقسیم را انجام دهید
به یک چند جمله ای 
.
راه حل الگوریتم تقسیم (7.6) - (7.9) به شکل "پیاده سازی شده است. تقسیم بر یک گوشه »:
بنابراین، ضریب 
، باقی مانده 
. بنابراین، ما نمایندگی زیر را داریم
که با ضرب مستقیم قابل تایید است. 
تعریف 7.5. اجازه دهید 
و 
- دو چند جمله ای چند جمله ای 
تماس گرفتبزرگترین مقسوم علیه مشترک
(GCD)از این چند جمله ای ها در صورتی که مقسوم علیه مشترک آنها باشد و خودش بر هر مقسوم علیه مشترک دیگر این چند جمله ای ها قابل تقسیم باشد.
GCD چند جمله ای ها 
و 
نشان داده شده با . اجازه دهید یک قضیه را فرموله و اثبات کنیم که یک الگوریتم سازنده برای یافتن GCD برای هر دو چند جمله ای ارائه می دهد.
قضیه 7.4 (الگوریتم اقلیدسی).
برای هر دو چند جمله ای 
و 
بزرگترین مقسوم علیه مشترک وجود دارد
اثبات ابتدا فرمول بندی کنیم الگوریتم اقلیدسی
یافته 
و سپس ثابت خواهیم کرد که چند جمله ای به دست آمده در فرآیند اجرای این الگوریتم، بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو چند جمله ای داده شده است.
ابتدا چند جمله ای را تقسیم می کنیم 
به یک چند جمله ای 
و در حالت کلی مقداری باقیمانده بدست می آوریم 
. بعد تقسیم می کنیم 
بر 
و باقیمانده را دریافت کنید 
، تقسیم کنید 
بر 
و باقیمانده را دریافت کنید 
و غیره در نتیجه چنین تقسیم بندی های متوالی به بقیه می رسیم 
، که باقیمانده قبلی بر آن تقسیم می شود 
. این باقیمانده بزرگترین مقسوم علیه مشترک این چندجمله ای ها خواهد بود.
برای اثبات آن، زنجیره تقسیمات را به ترتیب می نویسیم:
آخرین برابری نشان می دهد که 
مقسوم علیه است 
. بنابراین، هر دو عبارت در سمت راست برابری ماقبل آخر تقسیم بر 
و بنابراین در 
سهام و 
. با بالا رفتن زنجیره تقسیمات، به آن می رسیم 
مقسوم علیه است 
,
,
,
. از برابری دوم زنجیره می بینیم که 
مقسوم علیه است 
و بنابراین، بر اساس تساوی اول - برای 
. بنابراین، 
مقسوم علیه مشترک برای است 
و 
.
