مدل فرآیند تصادفی الگوریتم بانک شبیه سازی تصادفی مدل تصادفی

3.1. مدل های ریاضی فرآیندهای تصادفی

هنگام انجام تحقیقات علمی در تولید و زندگی روزمره، اغلب رویدادهایی وجود دارد که به طور مکرر در شرایط یکسان ظاهر می شوند، اما هر بار با یکدیگر متفاوت هستند. به عنوان مثال، با اندازه گیری مقدار ولتاژ در یک شبکه جریان متناوب با استفاده از یک دستگاه با همان دقت، هرگز داده های یکسانی را دریافت نخواهیم کرد. پراکندگی تصادفی مشاهده می شود. برای تخمین بزرگی پراکندگی، احتمال به عنوان یک اندازه گیری معرفی شده است.

الگوی پراکندگی، که توسط تابع توزیع احتمال بیان می شود، ماهیت کلی دارد.

اگر پارامترهای ورودی یک شی، تغییر حالت‌های شی یا پارامترهای خروجی آن با توزیع‌های احتمال تصادفی توصیف شوند، آنگاه این اشیا به کلاس تصادفی تعلق دارند. هنگام مدل‌سازی رفتار این اشیا، از دستگاه تئوری احتمال استفاده می‌شود و از دستگاه آمار ریاضی برای شناسایی پارامترهای مدل استفاده می‌شود. بیایید انواع مدل هایی را که می توان برای توصیف اشیاء تصادفی استفاده کرد، در نظر بگیریم.

3.1.1. توزیع رویدادهای تصادفی. پدیده ها یا فرآیندهای انبوه با تکرارهای متعدد در شرایط ثابت برخی آزمایش ها (عملیات و غیره) مشخص می شوند. با انتزاع از ویژگی های خاص این آزمایش ها، مفهوم آزمون (تجربه) وارد نظریه احتمال می شود. تست اجرای مجموعه خاصی از شرایط است که می تواند به تعداد دفعات مورد نظر بازتولید شود. پدیده هایی که در حین اجرای این مجموعه شرایط (در نتیجه آزمایش) رخ می دهند، رویداد نامیده می شوند.

یک عدد مثبت در بخش، که نشان دهنده اندازه گیری کمی از احتمال وقوع یک رویداد تصادفی در یک آزمون است، احتمال آن نامیده می شود. احتمال وقوع رویداد آبا نماد مشخص می شود P(A)، و 0 £P(A)£ 1. احتمال به عنوان یک معیار ایده آل برای امکان وقوع یک رویداد درک می شود.

یک متغیر تصادفی به عنوان تابعی در نظر گرفته می شود که آرگومان آن یک رویداد تصادفی ابتدایی است. یک متغیر تصادفی گسسته متغیری است که می تواند مجموعه ای از مقادیر محدود یا نامتناهی را به خود بگیرد، برای مثال مقادیر ممکن. x 1، x 2، …، x n، …برای هر رویداد x iاحتمالات تعیین شده P(x i). توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته، ارائه شده در شکل. 3.1 به عنوان توزیع احتمال نقطه ای در نظر گرفته می شود.

با توزیع پیوسته یک متغیر تصادفی، احتمالات به صورت یک نوار پیوسته در امتداد کل محور توزیع می شوند. ایکسیا در امتداد برخی از مقاطع آن با تراکم معین.

توزیع احتمال را توزیع نظری یک متغیر تصادفی می نامند.

تابع توزیع احتمال تجمعی احتمال وجود یک متغیر تصادفی را تعیین می کند ایکسکمتر از ارزش ایکس

. (3.1)

نمونه ای از تعیین تابع توزیع احتمال انتگرال در شکل 1 نشان داده شده است. 3.2.

تابع توزیع احتمال دیفرانسیل (تابع چگالی احتمال) احتمال یک متغیر تصادفی را تعیین می کند. ایکسکمتر از ارزش ایکس

. (3.2)

نمونه ای از تعیین یک تابع توزیع احتمال دیفرانسیل در شکل نشان داده شده است. 3.3.

مجموعه ای از متغیرهای تصادفی X(Q)بحث و جدل س، یک فرآیند تصادفی را تشکیل می دهد. جریان یک فرآیند تصادفی با برخی از تابع ها توصیف می شود X(Q)، جایی که س- آرگومان تابع با مقادیر از یک مجموعه س. تابع X(Q)، مشاهده شده در برخی آزمایش ها، با رعایت مجموعه ای از شرایط، تابع نمونه یا اجرای یک فرآیند تصادفی نامیده می شود.

اگر مجموعه سبه طور دلخواه، سپس به جای عبارت "فرآیند تصادفی" از عبارت "عملکرد تصادفی" استفاده می شود. نام "فرآیند تصادفی" در مواردی که پارامتر سبه زمان تعبیر می شود اگر آرگومان یک تابع تصادفی یک متغیر فضایی باشد، آن تابع را یک فیلد تصادفی می نامند.

تعریف.یک تابع تصادفی مدل فرآیند تصادفی نامیده می شود X(Q)، در مجموعه تعریف شده است س، با گرفتن مقادیر واقعی و توصیف شده توسط خانواده ای از توزیع ها:

, QiÎQ، i=1،2،...،n، n=1،2،...،

که شرایط سازگاری را برآورده می کند

,

= ,

جایی که من 1، من 2، ...، من n، -هر تغییری در شاخص ها 1 , 2 ,..., n.

مجموعه ویژگی توزیع های محدود بعدی یک تابع تصادفی یا تابع توزیع احتمال انتگرالی یک متغیر تصادفی چند بعدی نامیده می شوند. در n=1 توزیع یک بعدی را بدست می آوریم (3.1). یک مدل توزیع چند متغیره برای مدلسازی یک متغیر تصادفی چند متغیره مورد نیاز است.

هنگام حل بسیاری از مسائل مدلسازی، باید با چندین تابع تصادفی عمل کرد. برای انجام عملیات ریاضی بر روی آنها کافی نیست که هر یک از این توابع تصادفی جداگانه مشخص شوند. توالی توابع X 1 (Q)، X 2 (Q)،…، X n (Q)را می توان با یک تابع برداری جایگزین کرد x(Q)، که اجزای آن توابع تصادفی هستند X i (Q)، (i=1،2،…،n).

عبارات صریح برای توابع توزیع بعد محدود یک فرآیند تصادفی می تواند پیچیده و ناخوشایند باشد. بنابراین، در تعدادی از موارد، ترجیح داده می‌شود که توزیع‌های بعد محدود را با چگالی (تابع توزیع احتمال دیفرانسیل یک متغیر تصادفی چند بعدی) یا توابع مشخصه مشخص کنیم.

اگر - چگالی توابع توزیع ، آن

=

= .

رابطه بین تابع توزیع احتمال انتگرالی یک متغیر تصادفی یک بعدی و تابع توزیع احتمال دیفرانسیل آن با فرمول نشان داده شده است.

.

مدل سیستم را نیز می توان در قالب یک تابع مشخصه از توزیع بعد محدود دنباله مشخص کرد.

X 1 (Q)، X 2 (Q)، …، X n (Q)، Qi³0 >، i=1،n، n=1،2،...،

که با فرمول مشخص می شود

جایی که M-نماد انتظار ریاضی، u 1,u 2,...,u k- اعداد واقعی.

اگر چگالی توزیع با بعد محدود وجود داشته باشد، مدل در قالب یک تابع مشخصه تبدیل فوریه چگالی توزیع است. برای یک متغیر تصادفی یک بعدی، تابع مشخصه با فرمول تعیین می شود

.

3.1.2. توابع همبستگییک توصیف جامع از مدل یک شی تصادفی در قالب یک تابع تصادفی به معنای وسیع توسط خانواده ای از توزیع های محدود بعدی ارائه شده است. با این حال، حل بسیاری از مسائل احتمالی-نظری تنها به تعداد کمی از پارامترهای مشخص کننده توزیع های موجود در مسئله بستگی دارد. مهمترین مشخصه عددی توزیع ها ممان آنهاست. در تئوری توابع تصادفی، نقش گشتاورهای توزیع توسط توابع گشتاور ایفا می شود. اجازه دهید مدل هایی را به شکل توابع گشتاور برای یک متغیر تصادفی یک بعدی در نظر بگیریم.

لحظه کمرتبه -ام یک متغیر تصادفی گسسته با فرمول تعیین می شود

.

برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تابع لحظه ک

.

اجازه دهید مدل هایی را در قالب توابع گشتاور برای یک متغیر تصادفی چند بعدی در نظر بگیریم.

تعریف. مدل تابع تصادفی X(Q i)، Q i ОQدر قالب یک تابع لحظه ای با رابطه داده می شود

اگر انتظارات ریاضی در سمت راست برابری برای همه منطقی باشد QiÎQ، i=1، n. اندازه q=j 1 +j 2 +...+j nتابع ترتیب لحظه نامیده می شود.

اگر توابع مشخصه یک توزیع بُعد محدود شناخته شده باشند، آنگاه توابع لحظه ای با شاخص های عدد صحیح را می توان با استفاده از تمایز یافت.

در u 1 =u 1 =…=u n =0.

علاوه بر توابع لحظه ای، ممان مرکزی توابع اغلب به عنوان مدل در نظر گرفته می شوند. یک متغیر تصادفی متمرکز یک متغیر تصادفی است. برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تابع لحظه مرکزی کمرتبه -ام با فرمول تعیین می شود

.

برای یک متغیر تصادفی چند بعدی، ممان مرکزی تابع با فرمول تعیین می شود

که توابع لحظه ای یک تابع تصادفی متمرکز از پارامترهای زیادی هستند.

در بین توابع لحظه ای، توابع دو مرتبه اول از اهمیت خاصی برخوردار هستند که ممکن است دارای عناوین زیر باشند:

m(Q)=m 1 (Q 1)=MX(Q)،

R 1 (Q 1 ،Q 2) = m 1 (Q 1 ،Q 2) = M().

کارکرد m(Q)مقدار متوسط ​​یا انتظار ریاضی نامیده می شوند و R 1 (Q 1 , Q 2)- تابع همبستگی در Q 1 = Q 2 = Qتابع همبستگی واریانس را می دهد s(Q)مقادیر e(Q)، R 1 (Q 1 ,Q 2)=s 2 (Q).

اندازه

ضریب همبستگی متغیرهای تصادفی نامیده می شود X (Q 1)و X (Q 2).

همانطور که در بالا ذکر شد، مدل های تصادفی مدل های احتمالی هستند. علاوه بر این، در نتیجه محاسبات، می توان با درجه احتمال کافی گفت که در صورت تغییر فاکتور، مقدار شاخص تحلیل شده چقدر خواهد بود. رایج ترین کاربرد مدل های تصادفی پیش بینی است.

مدل‌سازی تصادفی تا حدی مکمل و تعمیق تحلیل عاملی قطعی است. در تحلیل عاملی، این مدل ها به سه دلیل عمده مورد استفاده قرار می گیرند:

• لازم است تأثیر عواملی را که برای آنها ایجاد یک مدل عامل کاملاً تعیین شده غیرممکن است (مثلاً سطح اهرم مالی) مطالعه شود.

• بررسی تأثیر عوامل پیچیده ای که نمی توانند در یک مدل کاملاً تعیین شده ترکیب شوند، ضروری است.
• مطالعه تأثیر عوامل پیچیده ای که نمی توان با یک شاخص کمی بیان کرد (به عنوان مثال، سطح پیشرفت علمی و فناوری) ضروری است.

برخلاف رویکرد کاملا قطعی، رویکرد تصادفی به تعدادی پیش نیاز برای اجرا نیاز دارد:

1. حضور جمعیت؛
2. حجم کافی مشاهدات؛
3. تصادفی بودن و استقلال مشاهدات؛
4. یکنواختی؛
5. وجود توزیعی از خصوصیات نزدیک به نرمال؛
6. وجود یک دستگاه خاص ریاضی.

ساخت یک مدل تصادفی در چند مرحله انجام می شود:

• تجزیه و تحلیل کیفی (تعیین هدف تجزیه و تحلیل، تعریف جمعیت، تعیین ویژگی های موثر و عاملی، انتخاب دوره ای که برای آن تجزیه و تحلیل انجام می شود، انتخاب روش تجزیه و تحلیل).
• تجزیه و تحلیل اولیه جمعیت شبیه سازی شده (بررسی همگنی جمعیت، به استثنای مشاهدات غیرعادی، شفاف سازی حجم نمونه مورد نیاز، ایجاد قوانین توزیع برای شاخص های مورد مطالعه)؛
• ساخت یک مدل تصادفی (رگرسیون) (توضیح فهرست عوامل، محاسبه برآورد پارامترهای معادله رگرسیون، شمارش گزینه های مدل رقیب).
• ارزیابی کفایت مدل (بررسی اهمیت آماری معادله به عنوان یک کل و پارامترهای فردی آن، بررسی انطباق ویژگی های رسمی برآوردها با اهداف مطالعه).
• تفسیر اقتصادی و استفاده عملی از مدل (تعیین ثبات مکانی- زمانی رابطه ساخته شده، ارزیابی ویژگی های عملی مدل).

مفاهیم اساسی تحلیل همبستگی و رگرسیون

تجزیه و تحلیل همبستگی -مجموعه ای از روش های آمار ریاضی که امکان تخمین ضرایب مشخص کننده همبستگی بین متغیرهای تصادفی و آزمون فرضیه های مربوط به مقادیر آنها را بر اساس محاسبه آنالوگ های نمونه آنها فراهم می کند.

تجزیه و تحلیل همبستگیروشی برای پردازش داده های آماری است که شامل مطالعه ضرایب (همبستگی) بین متغیرها است.

همبستگی(که ناقص یا آماری نیز نامیده می شود) به طور متوسط ​​برای مشاهدات انبوه زمانی خود را نشان می دهد که مقادیر داده شده متغیر وابسته با تعداد معینی از مقادیر احتمالی متغیر مستقل مطابقت داشته باشد. توضیح این امر پیچیدگی روابط بین عوامل تحلیل شده است که برهمکنش آنها تحت تأثیر متغیرهای تصادفی حساب نشده است. بنابراین، ارتباط بین علائم تنها به طور متوسط، در انبوه موارد ظاهر می شود. در یک رابطه همبستگی، هر مقدار آرگومان مربوط به مقادیر تابع است که به طور تصادفی در یک بازه زمانی خاص توزیع شده است..

در کلی‌ترین شکل، وظیفه آمار (و بر این اساس، تحلیل اقتصادی) در زمینه مطالعه روابط، کمی کردن حضور و جهت آنها و همچنین مشخص کردن قدرت و شکل تأثیر برخی از عوامل بر دیگران است. برای حل آن از دو گروه روش استفاده می شود که یکی شامل روش های تحلیل همبستگی و دیگری تحلیل رگرسیون است. در عین حال، تعدادی از محققین این روش ها را در تجزیه و تحلیل همبستگی-رگرسیون ترکیب می کنند که دارای پایه ای است: وجود تعدادی روش محاسباتی کلی، مکمل بودن در تفسیر نتایج و غیره.

بنابراین، در این زمینه، می توانیم در مورد تحلیل همبستگی به معنای گسترده صحبت کنیم - زمانی که رابطه به طور جامع مشخص شود. در عین حال، تحلیل همبستگی به معنای محدود - زمانی که قدرت اتصال بررسی می شود - و تحلیل رگرسیون وجود دارد که طی آن شکل آن و تأثیر برخی از عوامل بر برخی دیگر ارزیابی می شود.

خود وظایف تجزیه و تحلیل همبستگیبه اندازه گیری نزدیکی ارتباط بین ویژگی های مختلف، تعیین روابط علّی ناشناخته و ارزیابی عواملی که بیشترین تأثیر را بر ویژگی حاصل دارند، کاهش می یابد.

وظایف تجزیه و تحلیل رگرسیوندر ناحیه ایجاد شکل وابستگی، تعیین تابع رگرسیون و استفاده از یک معادله برای تخمین مقادیر مجهول متغیر وابسته قرار دارد.

راه‌حل این مشکلات مبتنی بر تکنیک‌ها، الگوریتم‌ها و شاخص‌های مناسب است که زمینه را برای صحبت در مورد مطالعه آماری روابط فراهم می‌کند.

لازم به ذکر است که روش های سنتی همبستگی و رگرسیون به طور گسترده در بسته های نرم افزاری مختلف آماری برای رایانه ها ارائه شده است. محقق فقط می تواند اطلاعات را به درستی آماده کند، بسته نرم افزاری را انتخاب کند که شرایط تجزیه و تحلیل را برآورده کند و آماده تفسیر نتایج به دست آمده باشد. الگوریتم های زیادی برای محاسبه پارامترهای ارتباطی وجود دارد و در حال حاضر انجام چنین تحلیل پیچیده ای به صورت دستی توصیه نمی شود. رویه‌های محاسباتی علاقه مستقلی دارند، اما آگاهی از اصول مطالعه روابط، امکانات و محدودیت‌های روش‌های خاص تفسیر نتایج، پیش‌نیاز تحقیق است.

روش‌های ارزیابی قدرت اتصال به همبستگی (پارامتری) و ناپارامتریک تقسیم می‌شوند. روش‌های پارامتریک معمولاً مبتنی بر استفاده از تخمین‌های توزیع نرمال است و در مواردی استفاده می‌شود که جمعیت مورد مطالعه شامل مقادیری است که از قانون توزیع نرمال پیروی می‌کنند. در عمل، این موقعیت اغلب به صورت پیشینی پذیرفته می شود. در واقع این روش ها پارامتری هستند و معمولاً روش های همبستگی نامیده می شوند.

روش های ناپارامتریک محدودیتی بر قانون توزیع کمیت های مورد مطالعه اعمال نمی کنند. مزیت آنها سادگی محاسبات است.

خودهمبستگی- رابطه آماری بین متغیرهای تصادفی از یک سری، اما با یک تغییر، به عنوان مثال، برای یک فرآیند تصادفی - با یک تغییر زمانی گرفته شده است.

همبستگی زوجی

ساده ترین تکنیک برای شناسایی رابطه بین دو ویژگی، ساختن است جدول همبستگی:

\Y\X\	Y 1	Y2	...	Y z	جمع	Y من
X 1	f 11		...	f 1z
X 1	f 21		...	f 2z
...	...	...	...	...	...	...
Xr	f k1	k2	...	f kz
جمع			...		n
			...			-

گروه بندی بر اساس دو ویژگی مورد مطالعه در رابطه است - X و Y. فرکانس های f ij تعداد ترکیب های متناظر X و Y را نشان می دهد.

اگر f ij به صورت تصادفی در جدول قرار گیرد، می توان در مورد عدم ارتباط بین متغیرها صحبت کرد. در صورت تشکیل هر ترکیب مشخصه f ij، برقراری ارتباط بین X و Y مجاز است. علاوه بر این، اگر f ij نزدیک یکی از دو مورب متمرکز شود، اتصال خطی مستقیم یا معکوس ایجاد می شود.

یک نمایش تصویری از جدول همبستگی است زمینه همبستگیاین نموداری است که در آن مقادیر X بر روی محور آبسیسا، مقادیر Y بر روی محور مختصات و نقاط ترکیب X و Y را نشان می‌دهند. با توجه به مکان نقاط و غلظت آنها در یک مقدار مشخص. جهت، می توان وجود یک اتصال را قضاوت کرد.

زمینه همبستگیمجموعه ای از نقاط (X i، Y ​​i) در صفحه XY نامیده می شود (شکل های 6.1 - 6.2).

اگر نقاط میدان همبستگی یک بیضی تشکیل دهند که مورب اصلی آن دارای زاویه تمایل مثبت (/) باشد، آنگاه یک همبستگی مثبت رخ می دهد (نمونه ای از چنین وضعیتی را می توان در شکل 6.1 مشاهده کرد).

اگر نقاط میدان همبستگی یک بیضی تشکیل دهند که مورب اصلی آن دارای زاویه تمایل منفی (\) است، آنگاه یک همبستگی منفی رخ می دهد (مثالی در شکل 6.2 نشان داده شده است).

اگر هیچ الگوی در محل نقاط وجود نداشته باشد، می گویند که در این مورد همبستگی صفر وجود دارد.

در نتایج جدول همبستگی، دو توزیع در سطرها و ستون ها آورده شده است - یکی برای X، دیگری برای Y. اجازه دهید مقدار متوسط ​​Y را برای هر Xi محاسبه کنیم، یعنی. ، چگونه

دنباله نقاط (X i، ) نموداری را نشان می دهد که وابستگی میانگین مقدار مشخصه مؤثر Y را به عامل X نشان می دهد، - خط رگرسیون تجربی،به وضوح نشان می دهد که چگونه Y با تغییر X تغییر می کند.

اساساً، هم جدول همبستگی، هم میدان همبستگی، و هم خط رگرسیون تجربی در ابتدا رابطه را مشخص می‌کنند که عامل و ویژگی‌های حاصل انتخاب می‌شوند و لازم است مفروضاتی در مورد شکل و جهت رابطه ایجاد شود. در عین حال، ارزیابی کمی از تنگی اتصال نیاز به محاسبات اضافی دارد.

7.1 ماهیت و وظایف مدل سازی تصادفی

مشکلات تجزیه و تحلیل عامل قطعی (DFA) کاربرد گسترده ای در کار تحلیلی پیدا کرده است، با این حال، رویکرد قطعی اجازه نمی دهد تا تأثیر بر شاخص عملکرد بسیاری از عوامل را که به طور متناسب به آن وابسته نیستند در نظر بگیریم (تقاضا، گردش کارکنان، محل شبکه توزیع و غیره). علاوه بر این، در مسائل DFA، جداسازی نتایج عوامل همزمان غیرممکن است. این کاستی‌ها استفاده از مدل‌سازی تصادفی را در تحلیل‌های اقتصادی، که در غیر این صورت روش‌های ریاضی و آماری برای مطالعه روابط نامیده می‌شود، ضروری کرده است که تا حدی مکمل و تعمیق DFA هستند.

بنابراین، در تحلیل اقتصادی، از مدل‌های تصادفی در مواردی که لازم است استفاده می‌شود:

- ارزیابی تأثیر عواملی که نمی توانند برای ساختن یک مدل کاملاً قطعی استفاده شوند.

- مطالعه و مقایسه تأثیر عواملی که نمی توانند در یک مدل قطعی یکسان گنجانده شوند.

- شناسایی و ارزیابی تأثیر عوامل پیچیده ای که با یک شاخص کمی خاص قابل بیان نیستند.

بر خلاف رویکرد قطعی، رویکرد تصادفی مستلزم تحقق تعدادی از پیش نیازها برای اجرای آن است:

1. همگنی کیفی جمعیت، یعنی در محدوده مقادیر متغیر متغیر، نباید یک جهش کیفی در ماهیت پدیده منعکس شده وجود داشته باشد.

2. تعداد کافی مشاهدات در جامعه، که به فرد امکان می دهد الگوهای موجود را به طور دقیق و قابل اعتماد شناسایی کند (در نظریه آماری اعتقاد بر این است که تعداد مشاهدات باید 6-8 برابر بیشتر از تعداد عوامل باشد).

3. در دسترس بودن روش ها، به عنوان مثال، یک دستگاه ریاضی خاص که امکان شناسایی رابطه نزدیک بین شاخص های مورد مطالعه و ارزیابی میزان تأثیر عوامل بر تغییر در شاخص مؤثر را ممکن می سازد.

به طور کلی، مدل سازی تصادفی برای حل سه مشکل طراحی شده است:

1) وجود یا عدم وجود ارتباط بین ویژگی های مورد مطالعه.

2) شناسایی روابط علی بین شاخص های مورد مطالعه و اندازه گیری کمی تأثیر عوامل بر شاخص مؤثر.

3) پیش بینی مقادیر ناشناخته شاخص های عملکرد.

مدل سازی تصادفی طبق مراحل زیر انجام می شود:

1) تجزیه و تحلیل کیفی که مستلزم تعیین هدف تجزیه و تحلیل، تعیین ویژگی های موثر و عاملی، انتخاب و حذف عوامل است.

2) تجزیه و تحلیل کمی، به عنوان مثال، ساخت یک مدل رگرسیون (معادلات رگرسیون) و محاسبه پارامترهای معادلات رگرسیون.

3) بررسی کفایت مدل، یعنی ارزیابی صحت (قابلیت اطمینان) معادله ارتباطی و قانونی بودن استفاده از آن برای یک هدف عملی.

اجرای عملی این مراحل مبتنی بر استفاده از روش های تحلیل همبستگی و رگرسیون است که در زیر مورد بحث قرار می گیرد.

7.2 روش های مدل سازی تصادفی

روش‌های مدل‌سازی تصادفی شامل تحلیل همبستگی-رگرسیون است که در نتیجه آن ضرایب تنگی و اهمیت آن محاسبه می‌شود (یعنی یک تحلیل همبستگی انجام می‌شود). یک رابطه رگرسیون ایجاد خواهد شد (یعنی یک تحلیل رگرسیون انجام خواهد شد)، که امکان اندازه گیری کمی اثرات عوامل بر شاخص عملکرد را فراهم می کند.

1. روش همبستگی به شما اجازه می دهد تا رابطه بین شاخص ها را به صورت کمی بیان کنید. علاوه بر این، اگر شاخص به یک عامل بستگی داشته باشد، در این صورت ما در مورد همبستگی جفتی صحبت می کنیم، اگر به عوامل زیادی بستگی دارد، پس ما در مورد همبستگی چندگانه صحبت می کنیم. ویژگی اصلی تحلیل همبستگی این است که تنها واقعیت وجود یک ارتباط و میزان نزدیکی آن را بدون فاش کردن دلایل مشخص می کند.

وظیفه تحلیل همبستگی شناسایی رابطه نزدیک ویژگی های مورد مطالعه است که یا با استفاده از ضریب همبستگی (برای رابطه خطی) و یا با استفاده از نسبت همبستگی (برای وابستگی خطی و غیرخطی) انجام می شود.

ضریب همبستگی (ضریب همبستگی جفتی، ضریب همبستگی خطی) بین عامل x و شاخص حاصل Y به شرح زیر تعیین می شود:

جایی که y مقدار مطلق شاخص عملکرد است. x - مقدار مطلق عامل؛ n - تعداد مشاهدات.

ضریب همبستگی می تواند مقادیری از -1 تا +1 داشته باشد. علاوه بر این، اگر:

r = -1، پس این به معنای وجود یک اتصال عملکردی با ماهیت معکوس متناسب است.

r = +1، پس این به معنای وجود یک ارتباط عملکردی با ماهیت مستقیم متناسب است (در هر دو مورد، ما به تحلیل عامل قطعی می رویم).

r = 0، این بدان معنی است که هیچ ارتباطی بین عامل و شاخص عملکرد مورد مطالعه وجود ندارد (عامل از سیستم عامل حذف می شود).

مقادیر دیگر r وجود یک وابستگی تصادفی را نشان می دهد و هر چه /r/ بیشتر به 1 تمایل داشته باشد، رابطه نزدیکتر است. به خصوص:

/r/< 0,3 означает слабую связь;

0,3 < /r/ < 0,7 – связь средней тесноты;

/r/ > 0.7 - رابطه نزدیک است، یعنی یک فرصت عینی برای حرکت به سمت تحلیل عاملی تصادفی وجود دارد.

در همبستگی زوجی، نزدیکی رابطه بین ویژگی حاصل و عامل مورد بررسی قرار می گیرد.

در مورد همبستگی چندگانه، نزدیکی رابطه بین شاخص عملکرد و مجموعه ای از عوامل بر اساس ضریب همبستگی چندگانه (R) بررسی می شود:

,

مقدار متوسط ​​شاخص عملکرد محاسبه شده با استفاده از معادله رگرسیون کجاست. - مقدار متوسط ​​شاخص عملکرد محاسبه شده از داده های اولیه.

ضریب همبستگی چندگانه فقط مقادیر مثبت از 0 تا 1 را می گیرد. با مقدار R≤0.3، ما از یک رابطه کوچک بین مقادیر با مقدار 0.3 صحبت می کنیم< R< 0,6 – о средней тесноте связи, при R>0.6 - وجود یک اتصال قابل توجه.

با همبستگی چندگانه، نزدیکی اتصال مورد مطالعه قرار می گیرد:

- بین ویژگی (تابع) به دست آمده و هر متغیر (استدلال)؛

- بین متغیرها به صورت جفت.

یک شاخص جایگزین درجه وابستگی بین دو متغیر، ضریب تعیین است که مجذور ضریب همبستگی است (r2 یا R2 - مقدار قابلیت اطمینان تقریب). ضریب تعیین که مقدار آن باید به 1 متمایل شود، نشان می دهد که سهم تأثیر عامل(های) مورد مطالعه بر شاخص مؤثر چقدر است. باید به خاطر داشت که به شرط اینکه r 2 (یا R 2)<0,5, синтезированные математические модели связи практического значения не имеют.

اجرای عملی تحلیل همبستگی شامل مراحل متوالی زیر است:

1) تنظیم وظایف و انتخاب ویژگی ها؛

2) تشکیل آرایه ای از اطلاعات آماری اولیه، تعیین درجه همگنی آن (بر اساس ضریب تغییرات).

3) ویژگی های اولیه رابطه (گروه بندی های تحلیلی، نمودارها)؛

4) حذف چند خطی (وابستگی متقابل عوامل)، روشن شدن مجموعه عوامل (انتخاب مهمترین آنها) بر اساس ضریب همبستگی، شاخص تعیین یا آزمون دانشجو (برای جزئیات، به بند 7.3 مراجعه کنید). در این مورد، هنگام انتخاب عوامل، قوانین زیر باید رعایت شود:

- روابط علت و معلولی بین شاخص‌ها را در نظر بگیرید (توصیه نمی‌شود عوامل مرتبط در مدل را لحاظ کنید: اگر ضریب همبستگی زوج بین دو عامل بیش از 0.85 باشد، باید یکی از آنها حذف شود).

- مهمترین عوامل را انتخاب کنید.

- فقط عواملی را در نظر بگیرید که باید از نظر کمی قابل اندازه گیری باشند، یعنی دارای واحد اندازه گیری باشند و در حسابداری و گزارشگری منعکس شوند.

- فقط عوامل یک طرفه را در نظر بگیرید (به عنوان مثال، اگر وابستگی خطی باشد، عواملی را نمی توان در مدل گنجاند که رابطه آن با شاخص عملکرد منحنی است).

پس از انجام تمام مراحل فوق، اگر مشخص شود که اتصال بسیار نزدیک است (> 0.7)، آنها شروع به حل مشکل دوم می کنند - تجزیه و تحلیل رگرسیون، که به ما امکان می دهد بزرگی های خاص تأثیر عوامل بر تغییر را شناسایی کنیم. در شاخص عملکرد

2. تحلیل رگرسیون روشی برای ایجاد یک بیان تحلیلی (یعنی معادله رگرسیون) از رابطه تصادفی بین ویژگی های مورد مطالعه است.

معادله رگرسیون نشان می دهد که چگونه به طور متوسط، ویژگی مؤثر (Y) با تغییر هر یک از متغیرهای (X i) تغییر می کند و به شکل: Y = f (x 1,x 2,... x n) است.

که در آن Y متغیر وابسته است، یعنی. شاخص عملکرد؛ x i – متغیرهای مستقل (عوامل).

تحلیل رگرسیون دو مشکل اصلی را حل می کند:

- ساخت معادله رگرسیون، یعنی یافتن نوع رابطه بین شاخص عملکرد و عوامل مستقل.

- ارزیابی اهمیت معادله حاصل (بر اساس ضریب تعیین، آزمون فیشر و آزمون دانشجو).

نوع معادله رگرسیون توسط نموداری که رابطه بین عوامل و شاخص عملکرد را نشان می دهد تعیین می شود که بر اساس مجموعه ای همگن از داده های آماری ساخته شده و به عنوان توجیهی برای معادله رابطه عمل می کند.

اگر وابستگی خطی باشد (در نمودار به صورت یک خط مستقیم صعودی یا نزولی نشان داده شده است)، پس زمانی که:

الف) در تحلیل تک عاملی معادله به این صورت خواهد بود: Y(x) = a + b x،

که در آن Y شاخص عملکرد است. ب - ضریب رگرسیون، که نشان می دهد با تغییر ضریب 1 واحد، شاخص مؤثر چقدر تغییر می کند. a عبارت آزاد است که میزان تأثیر عوامل محاسبه نشده را نشان می دهد. فاکتور ایکس؛

ب) تجزیه و تحلیل چند متغیره، معادله به صورت زیر خواهد بود:

Y(x) = a +b 1 x 1 + b 2 x 2 +…+ b n x n.

اگر وابستگی غیرخطی باشد (در نمودار به صورت سهمی یا هذلولی نشان داده شده است)، معادله رگرسیون به شکل زیر است:

Y(x) = a + b x + c x 2 - با نموداری به شکل سهمی؛

Y(x) = a +b:x 2 - وقتی به شکل هذلولی ترسیم می شود.

اگر رابطه بین پدیده های مورد مطالعه پیچیده باشد، از سهمی های پیچیده تر (مرتبط سوم، چهارم (چند جمله ای) و غیره) و همچنین توابع درجه دوم، توان، نمایی و غیره استفاده می شود.

انتخاب یک معادله رگرسیون خاص و حل آن در چارچوب پردازشگر صفحه گسترده MS Excel یا بسته نرم افزاری آماری STADIA انجام می شود.

ماهیت حل معادلات رگرسیون یافتن پارامترهای رگرسیون (a و b) است. این با استفاده از روش حداقل مربعات با استفاده از یک سیستم معادلات عادی انجام می شود که ماهیت آن به حداقل رساندن مجموع انحرافات مجذور مقادیر واقعی شاخص عملکرد از مقادیر محاسبه شده آن است.

با وابستگی خطی، سیستم معادلات عادی به شکل زیر است:

∑y = na +b∑x

∑xy = a∑x +b∑x 2 .

برای یک رابطه منحنی:

∑y(1/x)= a∑1/x +b∑(1/x) 2 .

برای ارزیابی کفایت مدل از معیارهایی مانند خطای تقریب، نسبت F و ضریب تعیین استفاده می‌شود که در بخش 7.3 به تفصیل مورد بحث قرار گرفته‌اند.

در صورت لزوم می توان از ساخت یک معادله رگرسیونی برای پیش بینی مشخصه موثر استفاده کرد.

بیایید روش شناسی همبستگی و تحلیل رگرسیون را با استفاده از یک مثال خاص آزمایش کنیم.

مثال 7.1 بر اساس داده های جدول. و تحلیل رابطه بین هزینه های نیروی کار (Y) و درآمد حاصل از فروش کالا (x) ضروری است.

جدول A - داده های درآمد حاصل از فروش کالا و میزان هزینه های نیروی کار توسط سازمان تجارت، هزار روبل.

فروشگاه شماره	درآمد حاصل از فروش کالا		تعداد فروشگاه ها	درآمد حاصل از فروش کالا	مقدار هزینه های نیروی کار
آ	1	2	ب	3	4
1.	3 200	190	15.	1 690	177
2.	500	45	16.	7 450	230
3.	12 000	670	17.	12 900	587
4.	8 560	345	18.	2 010	166
5.	14 100	713	19.	1 650	105
6.	11 300	470	20.	5 115	241
7.	4 300	194	21.	8 945	400
8.	1 010	98	22.	11 900	523
9.	8 230	244	23.	14 200	780
10.	12 560	510	24.	10 300	576
11.	6 201	215	25.	11 450	425
12.	11 500	603	26.	13 000	606
13.	13 300	575	27.	6 100	210
14.	1 000	95	28.	7 500	249

بر اساس داده های جدول بیایید نموداری از وابستگی تغییرات در هزینه های نیروی کار به تغییرات در گردش تجاری بسازیم (شکل را ببینید).

وابستگی پویایی هزینه های نیروی کار به درآمد حاصل از فروش کالا

داده های نمودار نشان می دهد که یک رابطه خطی بین هزینه های نیروی کار و درآمد حاصل از فروش کالا وجود دارد. در مرحله بعد، نزدیکی ارتباط بین شاخص های مورد مطالعه را بر اساس ضریب همبستگی اندازه گیری می کنیم که برای آن فروشگاه ها را بر اساس میزان درآمد حاصل از فروش کالا گروه بندی می کنیم (به مبحث 3 مراجعه کنید) و جدول توسعه زیر را تهیه می کنیم (جدول) ب).

جدول ب - جدول توسعه برای تعیین شاخص های مورد استفاده در محاسبه ضریب همبستگی

گروه‌بندی فروشگاه‌ها بر اساس میزان درآمد حاصل از فروش کالا	تعداد فروشگاه ها	درآمد حاصل از فروش کالا (x i)، میلیون روبل.	مقدار هزینه های کار (y i)، میلیون روبل.
از 500 تا 3220 شامل	7,000	11,060	0,876	9,689	122,324	0,768
از 3221 تا 5440 شامل.	2,000	9,415	0,435	4,096	88,642	0,190
از 5,441 تا 8,160 شامل.	4,000	27,251	0,904	24,635	742,617	0,818
از 8161 تا 10880 شامل.	4,000	36,035	1,565	56,394	1298,521	2,450
St. 10 881	11,000	138,210	5,859	809,772	19102,004	34,328
جمع	28,000	221,971	9,639	904,586	21354,107	38,550

توجه داشته باشید. طبق جدول، عناصر محاسبه ضریب همبستگی دارای معانی زیر هستند:

Σx i = 221.971;

Σy i = 9.639; Σy i x i =904.586; Σx 2 i = 21,354.107; Σy 2 = 38.550.

داده های محاسبه شده با فرمول ضریب همبستگی جایگزین می شوند:

r =

ضریب تعیین: r 2 = 0.8 2 = 0.64.

ضریب همبستگی 0.8 واحد به معنای وجود رابطه تصادفی بالا بین میزان هزینه های نیروی کار و درآمد فروش است. شکل‌گیری این وابستگی تصادفی با حضور (و تسلط در این مورد) بخش ثابتی از هزینه‌های دستمزد توضیح داده می‌شود که اقلام تعهدی آن به پویایی نتیجه فعالیت‌های اقتصادی سازمان، یعنی درآمدهای فروش، مرتبط نیست. و مقدار ضریب تعیین 0.64 واحد است. به این معنی که 64 درصد از تغییر در هزینه های نیروی کار با تغییر در درآمد فروش توضیح داده می شود که مبنای تحلیل رگرسیون را فراهم می کند.

با توجه به نوع نمودار ارائه شده در شکل، بین شاخص های مورد مطالعه همبستگی خطی وجود دارد و بنابراین معادله رگرسیون به این صورت خواهد بود: Y(x) = a + b x،

جایی که Y - هزینه های نیروی کار؛ x – درآمد حاصل از فروش کالا.

برای تعیین پارامترهای a و b باید سیستم معادلات نرمال را با استفاده از روش حداقل مربعات حل کرد:

∑y = na +b∑x

∑xy = a∑x +b∑x 2 .

از اینجا مقدار ضریب b با فرمول تعیین می شود

مقدار محاسبه شده پارامتر b نشان می دهد که با افزایش درآمد حاصل از فروش کالا به میزان 1 میلیون روبل. هزینه های کار 42.3 هزار روبل افزایش می یابد. در همان زمان، با جایگزینی مقدار این پارامتر در اولین معادله سیستم، مقدار پارامتر a را تعیین می کنیم:

∑y = na +b∑x

9.639=a·28+0.0423·221.971

28a=0.0423·221.971-9.639

مقدار پارامتر a نشان می دهد که ضریب رگرسیون می تواند برای سازمان های تجاری با درآمد فروش برای سال بیش از 9 میلیون روبل قابل اعمال باشد.

به طور کلی، معادله رگرسیون به شکل: y = 0.009+0.0423 x است.

معادله رابطه حاصل را می توان برای پیش بینی مقدار هزینه های نیروی کار در صورت افزایش درآمد فروش و به عنوان مثال 15 میلیون روبل استفاده کرد:

y = 0.009+0.0423 x=0.009+0.0423 15=0.644 میلیون روبل.

7.3 معیارهای ارزیابی کفایت نتایج تحلیل تصادفی

هنگام انجام تجزیه و تحلیل رگرسیون، لازم است تخمین هایی به دست آورید که به شما امکان می دهد صحت مدل، احتمال وجود آن و اعتبار استفاده از آن را برای اهداف تحلیلی ارزیابی کنید. بنابراین، کیفیت تحلیل همبستگی و رگرسیون با انجام تعدادی از شرایط زیر تضمین می شود:

1. همگنی اطلاعات اولیه که بسته به توزیع نسبی آن حول مقدار متوسط ​​ارزیابی می شود. معیارها در اینجا (برای جزئیات، به مبحث 3 مراجعه کنید):

- انحراف معیار؛

- ضریب تغییرات؛

- ضریب یکنواختی؛

- قانون توزیع نرمال

2. اهمیت ضرایب همبستگی را می توان (همراه با ضریب تعیین که قبلاً در بالا نشان داده شده است) با استفاده از آزمون t-student ارزیابی کرد، الگوریتم محاسبه که برای یک رابطه خطی یک عاملی به شکل زیر است:

.

اگر مقدار تجربی (محاسبه شده) معیار (t e) بیشتر از مقدار بحرانی جدول (t t) باشد، ضریب همبستگی را می توان معنی دار در نظر گرفت.

3. کفایت (پایایی) معادله رگرسیون با استفاده از معیار F فیشر ارزیابی می شود که الگوریتم محاسبه آن به شرح زیر است:

,

که در آن m تعداد پارامترهای معادله رگرسیون است. σ 2 y - واریانس در امتداد خط رگرسیون. σ 2 استراحت - پراکندگی باقیمانده.

اگر مقدار تجربی معیار F (F e) بالاتر از جدول (F t) باشد، معادله رگرسیون باید کافی در نظر گرفته شود، یعنی برای استفاده قانونی است. علاوه بر این، هر چه مقدار معیار فیشر بیشتر باشد، رابطه بین عامل و شاخص های عملکرد با دقت بیشتری در معادله رابطه نشان داده می شود.

4. قدرت نسبی تأثیر عواملی که ارزیابی آنها برای تعیین مشکل ساز و مؤثرترین منطقه در آینده برای هدایت تلاش ها به یک منطقه خاص از تجارت ضروری است. راه حل این مشکل را می توان با استفاده از موارد زیر بدست آورد:

الف) ضرایب کشش جزئی (E i)، نشان دهنده رشد مورد انتظار شاخص موثر (در درصد) با افزایش شاخص عامل به میزان 1٪:

ب) ضرایب بتا استاندارد شده (β i):

هرچه ضریب بتا بالاتر باشد، تأثیر عامل تجزیه و تحلیل شده بر مشخصه حاصل قوی تر است.

تست های خودآزمایی دانش در مبحث 7

1. ضریب همبستگی برابر با 0 به این معنی است:

ب) وجود یک اتصال عملکردی با ماهیت مستقیم متناسب؛

2. ضریب همبستگی برابر با (-1) به این معنی است:

الف) وجود یک اتصال عملکردی با ماهیت معکوس متناسب؛

ب) وجود یک اتصال عملکردی با ماهیت مستقیم متناسب؛

ج) عدم ارتباط بین عامل و شاخص عملکرد مورد مطالعه.

3. وجود یک وابستگی تصادفی با مقدار ضریب همبستگی برابر با:

د) معانی دیگر.

4. مسئله تحلیلی که با روش های مدل سازی تصادفی قابل حل است:

الف) وجود یا عدم وجود ارتباط بین ویژگی های مورد مطالعه.

ب) شناسایی روند کلی تغییرات در شاخص مورد مطالعه؛

ج) انتخاب راه حل بهینه برای مسئله؛

د) ارزیابی کمی تأثیر عواملی که از نظر عملکردی به شاخص مؤثر وابسته هستند.

5. ارتباط نزدیک بین شاخص های عامل و شاخص حاصل به شما امکان می دهد شناسایی کنید:

الف) تحلیل همبستگی؛

ب) تحلیل رگرسیون؛

ج) تحلیل قطعی.

6. روش برقراری یک بیان تحلیلی (معادله) وابستگی تصادفی بین ویژگی های مورد مطالعه ... تجزیه و تحلیل است.

7. در خلال تحلیل رگرسیون، مسئله تحلیلی زیر حل می شود:

الف) یافتن نوع رابطه بین شاخص عملکرد و عوامل مستقل.

ب) شناسایی رابطه نزدیک بین شاخص های عاملی و نتایج.

ج) ارزیابی کمی تأثیر عواملی که از نظر عملکردی به شاخص عملکرد وابسته هستند.

8. برای ارزیابی پایایی معادله رگرسیون حاصل از:

الف) ضریب تعیین؛

ب) معیار فیشر;

ج) آزمون دانش آموزی؛

د) ضریب کندل;

ه) ضریب مشارکت سهام عوامل فشرده.

و) ضریب ریتمیک;

ز) ضریب وسعت.

9. با یک رابطه خطی یک عاملی، معادله رگرسیون به صورت زیر خواهد بود:

الف) y (x) = a + b x;

ب) y (x) = a +b 1 x 1 + b 2* x 2 +…+ b n x n;

ج) y (x) = a+в:х.

10. با یک رابطه چند متغیره خطی، معادله رگرسیون به صورت زیر خواهد بود:

الف) y(x) = a +b x;

ب) y (x) = a +b 1 ·x 1 + b 2 ·x 2 +…+ b n ·x n;

ج) y (x) = a+в:х.

11. در یک معادله رگرسیونی به شکل y(x) = a +b x y است:

الف) شاخص عملکرد؛

ب) ضریب رگرسیون;

ج) عضو آزاد

12. در یک معادله رگرسیونی به شکل y(x) = a + b x a است:

الف) شاخص عملکرد

ب) ضریب رگرسیون;

ج) عضو آزاد

13. ضریب رگرسیون (b) در معادله رگرسیون به شکل y(x) = a +b x نشان می دهد:

الف) با تغییر یک عامل، مقدار شاخص عملکرد چقدر تغییر می کند.

ب) میزان تأثیر عوامل محاسبه نشده.

14. اگر مقدار تجربی (محاسبه شده) معیار دانشجویی (t e) از مقدار جدول بحرانی (t t) بیشتر باشد، ضریب همبستگی ... معنی دار در نظر گرفته می شود.

سیاست و قوانین بین المللی. 10. تجزیه و تحلیل باید موثر باشد، یعنی. هزینه های اجرای آن باید تأثیر چندگانه داشته باشد. 4. تحلیل اقتصادی در فعالیت های فعالیت های آن محتویات، اهداف و اهداف تحلیل اقتصادی و مالی انجام شده توسط نهادهای امور داخلی در شرایط بازار برای انجام اصلاحات اجتماعی-اقتصادی در فعالیت های نهادهای امور داخلی...

طرح های ریاضی برای توصیف سیستم های فنی

طبقه بندی کلی مدل های سیستم

هر چیزی که فعالیت انسان به سمت آن هدایت می شود نامیده می شود هدف - شی . هنگام تعیین نقش نظریه مدل‌سازی در فرآیند مطالعه اشیا و در نتیجه مدل‌های آنها، لازم است از تنوع آنها انتزاع شود و ویژگی‌های مشترکی که ذاتی در مدل‌های اشیاء متفاوت است برجسته شود. این رویکرد منجر به ظهور یک طبقه بندی کلی از مدل های سیستم شد.

مدل های سیستم ایجاد شده طبقه بندی می شوند:

· توسط زمان

* مدل های دینامیکی: پیوسته که با معادلات دیفرانسیل توصیف می شوند. گسسته-پیوسته (تفاوت)، توصیف شده توسط معادلات تفاوت. مدل های احتمالی، مبتنی بر رویداد نظریه صف.

* مدل های گسسته - ماشین های اتوماتیک؛

· اتفاقی:

* قطعی - مدل هایی که فرآیندهایی را منعکس می کنند که در آنها تأثیرات تصادفی وجود ندارد.

* تصادفی - مدل هایی که فرآیندها و رویدادهای احتمالی را منعکس می کنند.

· با تعیین وقت قبلی:

· بر اساس نوع اطلاعات پردازش شده:

* اطلاعاتی: - مرجع و اطلاعاتی.

اطلاع رسانی و مشاوره؛

کارشناس؛

خودکار؛

* مدل های فیزیکی: - در مقیاس کامل (پلاسما).

نیمه طبیعی (تونل های باد)؛

* مدل های شبیه سازی؛

* مدل های هوشمند؛

* مدل های معنایی (منطقی)؛

بیایید به بررسی انواع اصلی طرح های ریاضی بپردازیم.

1.3.1. مدل‌های قطعی پیوسته (طرح‌های D)

طرح های ریاضی از این نوع منعکس می کنند پویایی شناسیفرآیندهایی که در طول زمان در سیستم رخ می دهند. به همین دلیل نامیده می شوند د - طرح ها. یک مورد خاص از سیستم های پویا هستند سیستم های کنترل اتوماتیک.

یک سیستم خودکار خطی با یک معادله دیفرانسیل خطی شکل توصیف می شود

جایی که x(t)- تنظیم تأثیر یا متغیر ورودی سیستم. y(t)- متغیر وضعیت یا خروجی سیستم؛ - ضرایب؛ تی- زمان.

شکل 1 یک نمودار عملکردی بزرگ شده از سیستم کنترل خودکار را نشان می دهد که در آن سیگنال خطا وجود دارد. - عمل کنترل؛ f(t)- نفوذ مزاحم این سیستم بر اساس اصل بازخورد منفی است، زیرا برای آوردن متغیر خروجی y(t)اطلاعات مربوط به انحراف بین آنها به مقدار مشخص شده آن استفاده می شود. با استفاده از آن، می توانید یک نمودار بلوکی و یک مدل ریاضی را در قالب یک تابع انتقال یا به شکل یک معادله دیفرانسیل (1.1) ایجاد کنید، که در آن، برای سادگی، فرض می شود که نقاط اعمال تأثیرات مزاحم بر هم منطبق هستند. با ورودی سیستم

شکل 1.1. ساختار سیستم کنترل خودکار

مدارهای قطعی پیوسته (مدارهای D) بر روی رایانه های آنالوگ (AVM) اجرا می شوند.

1.3.2. مدل‌های گسسته - قطعی (طرح‌های F)

نوع اصلی مدل های گسسته - قطعی است ماشین حالت محدود

ماشین حالتمبدل اطلاعات گسسته ای نامیده می شود که قادر به انتقال از یک حالت به حالت دیگر تحت تأثیر سیگنال های ورودی و تولید سیگنال های خروجی است. این یک خودکار است با حافظه. برای سازماندهی حافظه، زمان خودکار و مفهوم حالت ماشین.

مفهوم " حالت"خودکار به این معنی است که سیگنال خروجی خودکار نه تنها به سیگنال های ورودی در یک زمان معین بستگی دارد، بلکه سیگنال های ورودی را که زودتر می رسند نیز در نظر می گیرد. این اجازه می دهد تا زمان به عنوان یک متغیر صریح حذف شود و خروجی ها به عنوان تابعی از حالت ها و ورودی ها بیان شوند.

هرگونه انتقال خودکار از یک حالت به حالت دیگر زودتر از یک بازه زمانی گسسته امکان پذیر است. علاوه بر این، در نظر گرفته می‌شود که خود انتقال بلافاصله اتفاق می‌افتد، یعنی فرآیندهای گذرا در مدارهای واقعی در نظر گرفته نمی‌شوند.

دو روش برای معرفی زمان اتوماتیک وجود دارد که بر اساس آن ماشین های اتوماتیک به دو دسته تقسیم می شوند همزمانو نامتقارن.

که در همزماندر اتوماتا، لحظاتی در زمان که در آن تغییرات در حالات خودکار ثبت می شود توسط یک دستگاه خاص - یک ژنراتور سیگنال ساعت تنظیم می شود. علاوه بر این، سیگنال ها در بازه های زمانی مساوی می رسند - . فرکانس مولد ساعت به گونه ای انتخاب می شود که هر عنصر دستگاه زمان داشته باشد تا قبل از ظاهر شدن پالس بعدی کار خود را کامل کند.

که در نامتقارندر یک خودکار، لحظات انتقال خودکار از یک حالت به حالت دیگر از پیش تعیین نشده است و به رویدادهای خاصی بستگی دارد. در چنین ماشین هایی فاصله نمونه برداری متغیر است.

نیز وجود دارد قطعیو احتمالیمسلسل ها.

که در قطعیدر اتوماتا، رفتار و ساختار خودکار در هر لحظه از زمان به طور منحصر به فردی توسط اطلاعات ورودی فعلی و وضعیت خودکار تعیین می شود.

که در احتمالیدر ماشین های اسلات آنها به انتخاب تصادفی بستگی دارند.

به طور انتزاعی، یک ماشین حالت محدود را می توان به عنوان یک مدار ریاضی (مدار F -) نشان داد که با شش نوع متغیر و توابع مشخص می شود:

1) مجموعه محدود x(t)سیگنال های ورودی (الفبای ورودی)؛

2) مجموعه محدود y(t)سیگنال های خروجی (الفبای خروجی)؛

3) مجموعه محدود z(t)حالات داخلی (الفبای حالات)؛

4) وضعیت اولیه دستگاه z 0 , ;

5) عملکرد انتقال ماشین از یک حالت به حالت دیگر.

6) عملکرد خروجی های ماشین.

یک ماشین حالت محدود انتزاعی یک ورودی و یک خروجی دارد. در هر لحظه گسسته در زمان t=0،1،2،... F – دستگاه در وضعیت خاصی قرار دارد z(t)از بسیاری ز- حالات ماشین و در لحظه اولیه زمان t=0همیشه در حالت اولیه است z(0)=z 0. در حال حاضر تی، توانا بودن z(t)، اتومات قادر به دریافت سیگنال در کانال ورودی و تولید سیگنال در کانال خروجی، رفتن به حالت است.

یک ماشین متناهی انتزاعی نقشه برداری از مجموعه ای از کلمات الفبای ورودی را پیاده سازی می کند ایکسبرای بسیاری از کلمات الفبای خروجی Y، یعنی اگر ورودی یک ماشین حالت محدود به حالت اولیه تنظیم شود z 0، حروف الفبای ورودی را که کلمه ورودی را تشکیل می دهند به ترتیب خاصی ارسال کنید، سپس در خروجی دستگاه حروف الفبای خروجی به ترتیب ظاهر می شوند و کلمه خروجی را تشکیل می دهند.

در نتیجه، عملکرد ماشین حالت محدود طبق طرح زیر انجام می شود: در هر یک تی– ضربه اهم به ورودی دستگاه که در حالت است z(t)، مقداری سیگنال داده می شود x(t)، که ماشین با انتقال به آن واکنش نشان می دهد (t+1)–اوه درایت به یک حالت جدید z(t+1)و مقداری سیگنال خروجی تولید می کند.

بسته به نحوه تعیین سیگنال خروجی، ماشین های حالت محدود انتزاعی سنکرون به دو نوع تقسیم می شوند:

F - خودکار از نوع اول، همچنین نامیده می شود مایل اتوماتیک :

F – خودکار نوع دوم:

خودکار از نوع دوم که برای آن

تماس گرفت دستگاه مور - تابع خروجی به متغیر ورودی بستگی ندارد x(t).

برای تعریف یک اتومات F محدود، لازم است تمام عناصر مجموعه توصیف شوند.

روش های مختلفی برای تعیین عملکرد F-automata وجود دارد که از جمله پرکاربردترین آنها می توان به روش های جدولی، گرافیکی و ماتریسی اشاره کرد.

1.3.3. مدل های گسسته - پیوسته

فرآیندهای پالس خطی و سیستم های کنترل اتوماتیک دیجیتال با معادلات تفاضل گسسته به شکل زیر توصیف می شوند:

جایی که x(n)- تابع شبکه سیگنال ورودی؛ y(n)- تابع شبکه سیگنال خروجی که با حل معادله (1.2) تعیین می شود. b k- ضرایب ثابت؛ - تفاوت به- مرتبه اول؛ t=nT، جایی که nT – n-لحظه ی زمانی، تی- دوره گسستگی (در بیان (1.2) به طور متعارف به عنوان وحدت در نظر گرفته می شود).

معادله (1.2) را می توان به شکل دیگری نشان داد:

معادله (1.3) یک رابطه تکراری است که به شما امکان می دهد هر یک را محاسبه کنید (i+1)-امین عضو دنباله بر اساس مقادیر اعضای قبلی آن من، آی-1،...و معنی x(i+1).

دستگاه اصلی ریاضی برای مدل‌سازی سیستم‌های خودکار دیجیتال، تبدیل Z است که بر اساس تبدیل لاپلاس گسسته است. برای این کار باید تابع انتقال ضربه سیستم را پیدا کرد، متغیر ورودی را تنظیم کرد و با تغییر پارامترهای سیستم، بهترین نسخه سیستم طراحی شده را پیدا کرد.

1.3.4. مدل‌های تصادفی گسسته (طرح‌های P)

مدل تصادفی گسسته شامل خودکار احتمالی. به طور کلی یک خودکار احتمالی یک مبدل اطلاعات چرخه به چرخه گسسته با حافظه است که عملکرد آن در هر چرخه فقط به وضعیت حافظه موجود در آن بستگی دارد و می توان آن را به صورت آماری توصیف کرد. رفتار ماشین به انتخاب تصادفی بستگی دارد.

استفاده از مدارهای اتوماتای ​​احتمالی برای طراحی سیستم های گسسته ای که در آنها رفتار تصادفی منظم از نظر آماری آشکار می شود، مهم است.

برای خودکار P، یک مفهوم ریاضی مشابه برای خودکار F معرفی شده است. مجموعه G را در نظر بگیرید که همه عناصر آن جفت های ممکن هستند (x i,z s)، جایی که x iو z sعناصر زیرمجموعه ورودی ایکسو زیر مجموعه ایالت ها زبه ترتیب. اگر دو تابع از این قبیل وجود داشته باشد و به کمک آنها نقشه برداری و انجام شود، می گویند که یک خودکار از نوع قطعی را تعریف می کند.

تابع انتقال یک خودکار احتمالی نه یک حالت خاص، بلکه توزیع احتمال را در بسیاری از حالت ها تعیین می کند.

(دستگاه اتوماتیک با انتقال تصادفی). تابع خروجی نیز توزیع احتمال بر روی مجموعه ای از سیگنال های خروجی است (ماشین اتوماتیک با خروجی های تصادفی).

برای توصیف یک خودکار احتمالی، یک طرح ریاضی کلی تر را معرفی می کنیم. اجازه دهید Ф مجموعه تمام جفت های ممکن فرم باشد (z k,y j)، جایی که y j- عنصر زیر مجموعه خروجی Y. بعد ما به هر عنصری از مجموعه نیاز داریم جیبر روی مجموعه Ф قانون توزیع خاصی به شکل زیر القا می شود:

عناصری از F...

احتمال انتقال ماشین به حالت کجاست z kو ظاهر سیگنال در خروجی y jاگر او می توانست z sو در این لحظه سیگنالی در ورودی آن دریافت شد x i.

تعداد چنین توزیع هایی که در قالب جداول ارائه می شوند برابر با تعداد عناصر مجموعه G است. اگر این مجموعه جداول را با B نشان دهیم، آن چهار عنصر نامیده می شوند. خودکار احتمالی (R - اتوماتیک). که در آن .

یک مورد خاص از یک P-automaton که به عنوان خودکار تعریف می شود، که در آن یا انتقال به حالت جدید یا سیگنال خروجی به طور قطعی تعیین می شود. Z– خودکار احتمالی قطعی، Y– خودکار احتمالی قطعیبه ترتیب).

بدیهی است که از دیدگاه دستگاه ریاضی، تعیین یک خودکار P قطعی Y معادل تعیین زنجیره مارکوف با مجموعه ای محدود از حالت ها است. در این راستا، دستگاه زنجیره های مارکوف هنگام استفاده از مدارهای P برای محاسبات تحلیلی اساسی است. P-اتوماتای ​​مشابه هنگام ساخت فرآیندهای عملکرد سیستم ها یا تأثیرات محیط خارجی از ژنراتورهای توالی مارکوف استفاده می کنند.

سکانس های مارکوفطبق قضیه مارکوف، دنباله ای از متغیرهای تصادفی است که عبارت برای آنها صادق است.

که در آن N تعداد تست های مستقل است. د–-پراکندگی

چنین P-automata (طرحهای P) را می توان برای ارزیابی ویژگی های مختلف سیستم های مورد مطالعه هم برای مدل های تحلیلی و هم برای مدل های شبیه سازی با استفاده از روش های مدل سازی آماری استفاده کرد.

Y - P قطعی - خودکار را می توان با دو جدول مشخص کرد: انتقال (جدول 1.1) و خروجی (جدول 1.2).

جدول 1.1

جایی که P ij احتمال انتقال خودکار P از حالت z i به حالت z j است و .

جدول 1.1 را می توان به عنوان یک ماتریس مربع ابعاد نشان داد. ما چنین جدولی را می نامیم ماتریس احتمال انتقالیا به سادگی ماتریس انتقال P-automaton، که می تواند به شکل فشرده نمایش داده شود:

برای توصیف یک P-automaton قطعی Y، لازم است توزیع احتمال اولیه شکل را مشخص کنیم:

ز...	z 1	z 2	...	z k-1	z k
د...	د 1	د 2	...	d k-1	dk

که در آن d k احتمال این است که در ابتدای کار ماشین P-خودکار در حالت z k باشد و .

و به این ترتیب قبل از شروع به کار، دستگاه P-اتوماتیک در حالت z 0 قرار دارد و در مرحله زمانی اولیه (صفر) وضعیت را مطابق با توزیع D تغییر می دهد. پس از این، تغییر حالت خودکار می شود. با ماتریس انتقال P تعیین می شود. با در نظر گرفتن z 0، بعد ماتریس P p باید به 0 افزایش یابد، در این صورت ردیف اول ماتریس خواهد بود. (d 0 ,d 1 ,d 2 ,...,d k)و ستون اول خالی خواهد بود.

مثال. Y - P قطعی - خودکار توسط جدول انتقال مشخص می شود:

جدول 1.3

و جدول خروجی

جدول 1.4

ز	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
Y

با در نظر گرفتن جدول 1.3، نمودار انتقال خودکار احتمالی در شکل 1.2 ارائه شده است.

لازم است مجموع احتمالات نهایی این خودکار در حالت های z 2 و z 3 تخمین زده شود، یعنی. هنگامی که واحدها در خروجی دستگاه ظاهر می شوند.

برنج. 1.2. نمودار انتقال

با رویکرد تحلیلی می توان از روابط شناخته شده از تئوری زنجیره های مارکوف استفاده کرد و سیستمی از معادلات را برای تعیین احتمالات نهایی به دست آورد. علاوه بر این، به دلیل اینکه توزیع اولیه بر مقادیر احتمالات نهایی تأثیر نمی گذارد، می توان وضعیت اولیه را نادیده گرفت. سپس جدول 1.3 به شکل زیر خواهد بود:

احتمال نهایی Y-خودکار قطعی P- در وضعیت کجاست z k.

در نتیجه یک سیستم معادلات بدست می آوریم:

یک شرط عادی سازی باید به این سیستم اضافه شود:

حال با حل سیستم معادلات (1.4) همراه با (1.5)، به دست می‌آییم:

بنابراین، در حین کار بی نهایت یک خودکار معین، یک دنباله باینری در خروجی آن با احتمال ظاهر شدن یک برابر با: تشکیل می شود.

علاوه بر مدل‌های تحلیلی در قالب نمودار P، می‌توان از مدل‌های شبیه‌سازی نیز استفاده کرد که برای مثال با روش مدل‌سازی آماری پیاده‌سازی شدند.

1.3.5. مدل‌های تصادفی پیوسته (طرح‌های Q)

ما چنین مدل هایی را با استفاده از مثال استفاده از سیستم های صف به عنوان طرح های ریاضی استاندارد در نظر خواهیم گرفت که به نام مدارهای Q- . چنین طرح‌های Q برای رسمی کردن فرآیندهای عملکرد سیستم‌ها، که ذاتاً فرآیند هستند، استفاده می‌شوند. سرویس.

به فرآیندهای خدماتیرا می توان به موارد زیر نسبت داد: جریان های عرضه محصول به یک شرکت خاص، جریان قطعات و اجزای سازنده در خط مونتاژ یک کارگاه، درخواست های پردازش اطلاعات رایانه ای از پایانه های راه دور یک شبکه رایانه ای. یکی از ویژگی های عملکرد چنین سیستم ها یا شبکه هایی ظاهر تصادفی درخواست های خدمات است. علاوه بر این، در هر عمل اولیه خدمات، دو مؤلفه اصلی قابل تشخیص است: انتظار خدمات و در واقع، فرآیند خدمات دهی به خود درخواست. بیایید این را به شکل یک دستگاه سرویس i-ام P i تصور کنیم (شکل 1.3)، متشکل از یک انباشته از درخواست‌ها N i، که می‌تواند به طور همزمان شامل برنامه‌های کاربردی باشد. K i - کانال برای درخواست های خدمات.

هر عنصر دستگاه P i جریانی از رویدادها را دریافت می کند، فضای ذخیره سازی H i جریانی از درخواست ها را دریافت می کند، و کانال K i یک جریان خدمات I i را دریافت می کند.

شکل 1.3. دستگاه سرویس

جریان رویداد می تواند باشد همگن، اگر فقط با توالی ورود این رویدادها مشخص شود () یا ناهمگون، اگر با مجموعه ای از ویژگی های رویداد مشخص شود، به عنوان مثال، مجموعه ویژگی های زیر: منبع درخواست ها، وجود اولویت، توانایی سرویس دهی توسط یک یا نوع دیگری از کانال و غیره.

به طور معمول، هنگام مدل‌سازی سیستم‌های مختلف در رابطه با کانال K i، می‌توانیم فرض کنیم که جریان درخواست‌ها در ورودی Ki زیرمجموعه‌ای از متغیرهای غیرقابل کنترل را تشکیل می‌دهد و جریان سرویس I i زیرمجموعه‌ای از متغیرهای کنترل‌شده را تشکیل می‌دهد.

آن درخواست هایی که به دلایل مختلف توسط کانال K i سرویس نمی شوند، جریان خروجی U i را تشکیل می دهند.

این مدل ها را می توان به عنوان مدل های تصادفی بهینه طبقه بندی کرد.

در بسیاری از موارد، هنگام ساخت یک مدل، همه شرایط از قبل مشخص نیست. اثربخشی یافتن مدل در اینجا به سه عامل بستگی دارد:

شرایط مشخص شده x 1، x 2،...، x n;

شرایط نامعلوم y 1، y 2،...، y k;

عواملی که به ما بستگی دارد و 1، و 2،...، و m،که باید پیدا شوند

شاخص کارایی برای حل چنین مشکلی به شکل زیر است:

وجود عوامل ناشناخته y منمسئله بهینه سازی را به مسئله انتخاب راه حل در شرایط عدم قطعیت تبدیل می کند. کار به شدت دشوار می شود.

این کار به ویژه برای مواردی که مقادیر آن پیچیده است y منثبات آماری یعنی عوامل ناشناخته ندارند y مننمی توان با استفاده از روش های آماری مطالعه کرد. قوانین توزیع آنها یا به دست نمی آید یا اصلا وجود ندارد.

در این موارد، ترکیبی از تمام مقادیر ممکن Y در نظر گرفته می‌شود: به گونه‌ای که هر دو ترکیب «بهترین» و «بدترین» مقادیر متغیر را به دست آورد. y من.

سپس به عنوان یک معیار بهینه سازی در نظر گرفته می شود.

مدل تصادفی روشی از مدل‌سازی مالی است که در آن یک یا چند متغیر در مدل ماهیت تصادفی دارند، یعنی یک فرآیند تصادفی را نشان می‌دهند. در نتیجه، حل معادله نیز فرآیندهای تصادفی است. معادله تصادفی بر اساس حرکت براونی است.

به طور گسترده ای برای پیش بینی عملکرد بازارهای سهام، اوراق قرضه و اوراق بهادار در آینده استفاده می شود. مدل سازی آماری وسیله ای برای تخمین احتمال نتایج و پیش بینی شرایط در موقعیت های مختلف است. متغیرهای تصادفی مورد استفاده معمولاً محدود به داده های تاریخی هستند، مانند بازده اخیر بازار. به عنوان مثال، هنگام استفاده از یک مدل در ارزش گذاری سبد، چندین شبیه سازی از نمایش پرتفوی بر اساس توزیع احتمال بازده سهام منفرد انجام می شود. تجزیه و تحلیل آماری نتایج می تواند به تعیین احتمال ارائه عملکرد مطلوب یک پورتفولیو کمک کند. هدف اصلی پژوهش های آماری، پی بردن به ویژگی های جامعه از ویژگی های نمونه است. برای مثال، پیش‌بینی به معنای یافتن توزیع احتمال مشاهدات آینده یک جمعیت بر اساس نمونه‌ای از مقادیر گذشته است. برای انجام این کار، ما باید بتوانیم فرآیندهای تصادفی و سری های زمانی را توصیف کنیم و کلاس های مدل های تصادفی را برای توصیف موقعیت هایی که در عمل با آنها مواجه می شوند، بشناسیم. طرفداران مدل سازی تصادفی استدلال می کنند که تصادفی بودن یک ویژگی اساسی بازارهای مالی است.

مدل سازی آماری روشی ساختاریافته برای مطالعه یک سبد با در نظر گرفتن عوامل تصادفی مانند تورم یا تحمل ریسک فراهم می کند. اگر مدل سازی نشان دهنده احتمال کم دستیابی به اهداف سرمایه گذاری باشد، صندوق ممکن است متنوع شود یا سطوح مشارکت اصلاح شود.

مدل‌سازی آماری روشی برای نمایش داده‌ها یا پیش‌بینی نتایج است که میزان مشخصی از تصادفی یا غیرقابل پیش‌بینی بودن را امکان‌پذیر می‌سازد. برای مثال، بازار بیمه برای پیش‌بینی وضعیت آتی ترازنامه‌های یک شرکت، به شدت به مدل‌سازی تصادفی متکی است، زیرا ممکن است تحت تأثیر رویدادهای غیرقابل پیش‌بینی که منجر به پرداخت خسارت می‌شود، شوند. بسیاری از صنایع و حوزه‌های مطالعاتی دیگر می‌توانند از مدل‌سازی تصادفی مانند آمار، سرمایه‌گذاری سهام، زیست‌شناسی، زبان‌شناسی و فیزیک کوانتومی بهره ببرند.

به‌ویژه در دنیای بیمه، مدل‌سازی تصادفی در تعیین اینکه چه نتایجی را می‌توان انتظار داشت و چه چیزی را بعید می‌داند، حیاتی است. به جای استفاده از متغیرهای ثابت مانند سایر مدل‌های ریاضی، مدل‌های تصادفی شامل تغییرات تصادفی برای پیش‌بینی شرایط آینده و دیدن اینکه ممکن است چه باشند، می‌شوند. البته، امکان یک تغییر تصادفی به این معنی است که بسیاری از نتایج ممکن است. به همین دلیل، فرآیندهای تصادفی نه تنها یک بار، بلکه صدها یا حتی هزاران بار عمل می کنند. جمع آوری داده های بزرگ نه تنها نتایج احتمالی را بیان می کند، بلکه نوسانات مورد انتظار را نیز بیان می کند.

یکی دیگر از کاربردهای واقعی مدل‌سازی تصادفی، علاوه بر بیمه، تولید است. به دلیل تأثیر متغیرهای ناشناخته یا تصادفی بر نتیجه نهایی، تولید به عنوان یک فرآیند تصادفی در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، کارخانه ای که یک محصول خاص را تولید می کند، همیشه می داند که درصد کمی از محصولات آنطور که در نظر گرفته شده، از آب در نمی آیند و قابل فروش نیستند. این ممکن است به دلیل عوامل متعددی مانند کیفیت ورودی ها، شرایط عملیاتی تجهیزات تولید و همچنین شایستگی کارکنان و بسیاری موارد دیگر باشد. چگونگی تأثیر این عوامل بر نتایج را می توان برای پیش بینی نرخ خطای تولید معین برای برنامه ریزی تولید مدل کرد.