Sistem persamaan. Teori terperinci dengan contoh (2020). Menyelesaikan persamaan linier sederhana Jenis persamaan dan cara penyelesaiannya

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Persamaan linier adalah persamaan aljabar. Dalam persamaan ini, derajat total polinomial penyusunnya sama dengan satu.

Persamaan linier disajikan sebagai berikut:

Dalam bentuk umum: A 1 X 1 + A 2 X 2 + … + sebuah n x n + B = 0

Dalam bentuk kanonik: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Persamaan linier dengan satu variabel.

Persamaan linier dengan 1 variabel direduksi menjadi bentuk:

kapak+ B=0.

Misalnya:

2x + 7 = 0. Di mana a=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0. Di mana a=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0. Di mana a=12, b=1/2.

Jumlah akar tergantung pada A Dan B:

Kapan A= B=0 , yang berarti persamaan tersebut memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas, karena .

Kapan A=0 , B≠ 0 , yang berarti persamaan tersebut tidak mempunyai akar, karena .

Kapan A ≠ 0 , artinya persamaan tersebut hanya mempunyai satu akar.

Persamaan linier dengan dua variabel.

Persamaan dengan variabel X adalah persamaan tipe SEBUAH(x)=B(x), Di mana Kapak) Dan B(x)- ekspresi dari X. Saat mengganti set T nilai-nilai X ke dalam persamaan kita mendapatkan persamaan numerik yang sebenarnya, yang disebut kumpulan kebenaran persamaan ini atau menyelesaikan persamaan yang diberikan, dan semua nilai variabel tersebut adalah akar persamaan.

Persamaan linear 2 variabel disajikan dalam bentuk berikut:

Dalam bentuk umum: kapak + oleh + c = 0,

Dalam bentuk kanonik: kapak + oleh = -c,

Dalam bentuk fungsi linier: kamu = kx + m, Di mana .

Solusi atau akar persamaan ini adalah pasangan nilai variabel berikut (x;y), yang mengubahnya menjadi identitas. Persamaan linier dengan 2 variabel mempunyai jumlah solusi (akar) yang tidak terbatas. Model geometri (grafik) persamaan ini berupa garis lurus y=kx+m.

Jika suatu persamaan memuat x kuadrat, maka persamaan tersebut disebut

Setelah kita mempelajari konsep persamaan, yaitu salah satu jenisnya – persamaan numerik, kita dapat beralih ke jenis persamaan penting lainnya. Dalam kerangka materi ini kami akan menjelaskan apa itu persamaan dan akar-akarnya, merumuskan definisi dasar dan memberikan berbagai contoh persamaan serta mencari akar-akarnya.

Konsep persamaan

Biasanya konsep persamaan diajarkan di awal kursus aljabar sekolah. Kemudian didefinisikan seperti ini:

Definisi 1

Persamaan disebut persamaan dengan bilangan yang tidak diketahui yang perlu dicari.

Merupakan kebiasaan untuk menunjukkan hal yang tidak diketahui dengan huruf Latin kecil, misalnya t, r, m, dll., tetapi x, y, z paling sering digunakan. Dengan kata lain persamaan ditentukan oleh bentuk pencatatannya, yaitu persamaan akan menjadi persamaan hanya jika direduksi menjadi bentuk tertentu - harus memuat huruf, yang nilainya harus dicari.

Mari kita berikan beberapa contoh persamaan paling sederhana. Persamaan tersebut dapat berupa persamaan dalam bentuk x = 5, y = 6, dst., maupun persamaan yang mencakup operasi aritmatika, misalnya x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Setelah konsep tanda kurung dipelajari maka muncullah konsep persamaan dengan tanda kurung. Ini termasuk 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, dst. Huruf yang perlu dicari bisa muncul lebih dari satu kali, tetapi beberapa kali, seperti , misalnya pada persamaan x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10. Selain itu, bilangan yang tidak diketahui dapat ditempatkan tidak hanya di sebelah kiri, tetapi juga di sebelah kanan atau di kedua bagian secara bersamaan, misalnya x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 atau 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Selanjutnya, setelah siswa mengenal konsep bilangan bulat, real, rasional, bilangan asli, serta logaritma, akar, dan pangkat, muncul persamaan baru yang mencakup semua objek tersebut. Kami telah menyediakan artikel terpisah untuk contoh ekspresi tersebut.

Pada kurikulum kelas 7 konsep variabel muncul pertama kali. Ini adalah huruf-huruf yang dapat memiliki arti berbeda (untuk lebih jelasnya, lihat artikel tentang ekspresi numerik, huruf, dan variabel). Berdasarkan konsep ini, kita dapat mendefinisikan kembali persamaan:

Definisi 2

Persamaannya adalah persamaan yang melibatkan variabel yang nilainya perlu dihitung.

Misalnya, ekspresi x + 3 = 6 x + 7 adalah persamaan dengan variabel x, dan 3 y − 1 + y = 0 adalah persamaan dengan variabel y.

Satu persamaan bisa mempunyai lebih dari satu variabel, melainkan dua atau lebih. Masing-masing disebut persamaan dengan dua, tiga variabel, dan seterusnya. Mari kita tuliskan definisinya:

Definisi 3

Persamaan dengan dua (tiga, empat atau lebih) variabel adalah persamaan yang mencakup sejumlah variabel yang tidak diketahui.

Misalnya persamaan bentuk 3, 7 · x + 0, 6 = 1 adalah persamaan dengan satu variabel x, dan x − z = 5 adalah persamaan dengan dua variabel x dan z. Contoh persamaan dengan tiga variabel adalah x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Akar persamaan

Ketika kita berbicara tentang suatu persamaan, segera muncul kebutuhan untuk mendefinisikan konsep akarnya. Mari kita coba jelaskan apa maksudnya.

Contoh 1

Kita diberikan persamaan tertentu yang mencakup satu variabel. Jika kita mengganti huruf yang tidak diketahui dengan angka, persamaannya menjadi persamaan numerik - benar atau salah. Jadi, jika pada persamaan a + 1 = 5 kita mengganti huruf dengan angka 2, maka persamaannya menjadi salah, dan jika 4 maka persamaan yang benar adalah 4 + 1 = 5.

Kami lebih tertarik pada nilai-nilai yang dengannya variabel tersebut akan berubah menjadi persamaan yang sebenarnya. Mereka disebut akar atau solusi. Mari kita tuliskan definisinya.

Definisi 4

Akar persamaan Mereka menyebut nilai suatu variabel yang mengubah persamaan tertentu menjadi persamaan sejati.

Akar juga bisa disebut solusi, atau sebaliknya - kedua konsep ini memiliki arti yang sama.

Contoh 2

Mari kita ambil contoh untuk memperjelas definisi ini. Di atas kami memberikan persamaan a + 1 = 5. Menurut definisinya, akar dalam kasus ini adalah 4, karena jika disubstitusikan sebagai ganti huruf, ia memberikan persamaan numerik yang benar, dan dua tidak akan menjadi solusi, karena sesuai dengan persamaan yang salah 2 + 1 = 5.

Berapa banyak akar yang dapat dimiliki suatu persamaan? Apakah setiap persamaan mempunyai akar? Mari kita jawab pertanyaan-pertanyaan ini.

Persamaan yang tidak memiliki akar tunggal juga ada. Contohnya adalah 0 x = 5. Kita dapat mensubstitusi bilangan-bilangan berbeda dalam jumlah tak terhingga ke dalamnya, namun tak satu pun dari bilangan-bilangan tersebut yang akan mengubahnya menjadi persamaan sejati, karena mengalikannya dengan 0 selalu menghasilkan 0.

Ada juga persamaan yang memiliki beberapa akar. Mereka dapat memiliki jumlah akar yang terbatas atau tidak terbatas.

Contoh 3

Jadi, pada persamaan x − 2 = 4 hanya terdapat satu akar - enam, pada x 2 = 9 dua akar - tiga dan dikurangi tiga, pada x · (x − 1) · (x − 2) = 0 tiga akar - nol, satu dan dua, persamaan x=x mempunyai banyak akar yang tak terhingga.

Sekarang mari kita jelaskan cara menulis akar-akar persamaan dengan benar. Jika tidak ada, maka kita tulis: “persamaan tersebut tidak memiliki akar”. Dalam hal ini, Anda juga dapat menunjukkan tanda himpunan kosong ∅. Jika ada akar-akarnya, maka kita menulisnya dengan dipisahkan koma atau menunjukkannya sebagai elemen suatu himpunan, diapit dalam kurung kurawal. Jadi, jika suatu persamaan memiliki tiga akar - 2, 1 dan 5, maka kita tulis - 2, 1, 5 atau (- 2, 1, 5).

Diperbolehkan menulis akar dalam bentuk persamaan sederhana. Jadi, jika persamaan yang tidak diketahui dilambangkan dengan huruf y, dan akar-akarnya adalah 2 dan 7, maka kita tulis y = 2 dan y = 7. Terkadang subskrip ditambahkan pada huruf, misalnya x 1 = 3, x 2 = 5. Dengan cara ini kita menunjukkan jumlah akarnya. Jika persamaan memiliki jumlah solusi yang tak terhingga, maka kita menulis jawabannya sebagai interval numerik atau menggunakan notasi yang berlaku umum: himpunan bilangan asli dilambangkan N, bilangan bulat - Z, bilangan real - R. Katakanlah, jika kita ingin menuliskan bahwa penyelesaian persamaan tersebut adalah bilangan bulat apa pun, maka kita tuliskan bahwa x ∈ Z, dan jika ada bilangan real dari satu hingga sembilan, maka y ∈ 1, 9.

Jika suatu persamaan memiliki dua, tiga akar atau lebih, maka, sebagai suatu peraturan, kita tidak berbicara tentang akar-akarnya, tetapi tentang solusi persamaan tersebut. Mari kita rumuskan definisi penyelesaian persamaan dengan beberapa variabel.

Definisi 5

Penyelesaian persamaan dengan dua, tiga atau lebih variabel adalah dua, tiga atau lebih nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita jelaskan definisinya dengan contoh.

Contoh 4

Katakanlah kita mempunyai persamaan x + y = 7, yang merupakan persamaan dengan dua variabel. Mari kita gantikan satu dengan yang pertama, dan dua sebagai pengganti yang kedua. Kita akan mendapatkan persamaan yang salah, artinya pasangan nilai tersebut tidak akan menjadi solusi persamaan tersebut. Jika kita ambil pasangan 3 dan 4, maka persamaan tersebut menjadi benar yang berarti kita telah menemukan penyelesaiannya.

Persamaan seperti itu mungkin juga tidak memiliki akar atau jumlahnya tidak terbatas. Jika kita perlu menuliskan dua, tiga, empat nilai atau lebih, maka kita menuliskannya dengan dipisahkan koma di dalam tanda kurung. Artinya, pada contoh di atas, jawabannya akan terlihat seperti (3, 4).

Dalam praktiknya, Anda paling sering harus berurusan dengan persamaan yang mengandung satu variabel. Kami akan mempertimbangkan algoritma untuk menyelesaikannya secara rinci dalam artikel yang ditujukan untuk menyelesaikan persamaan.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Persamaan adalah ekspresi matematika yang merupakan persamaan dan mengandung sesuatu yang tidak diketahui. Jika suatu persamaan benar untuk setiap nilai yang diperbolehkan dari hal-hal yang tidak diketahui yang termasuk di dalamnya, maka persamaan itu disebut identitas; Misalnya: relasi bentuk (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) berlaku untuk semua nilai x.

Jika persamaan yang mengandung x yang tidak diketahui hanya berlaku untuk nilai x tertentu dan tidak untuk semua nilai x, seperti dalam kasus identitas, maka mungkin berguna untuk menentukan nilai x yang mana persamaan tersebut valid. Nilai x seperti itu disebut akar atau solusi persamaan. Misalnya bilangan 5 adalah akar persamaan 2x + 7= 17.

Dalam cabang matematika yang disebut teori persamaan, pokok bahasan utama yang dipelajari adalah metode penyelesaian persamaan. Dalam kursus aljabar sekolah, banyak perhatian diberikan pada persamaan.

Sejarah studi persamaan sudah ada sejak berabad-abad yang lalu. Matematikawan paling terkenal yang berkontribusi terhadap pengembangan teori persamaan adalah:

Archimedes (c. 287–212 SM) adalah seorang ilmuwan, matematikawan, dan mekanik Yunani kuno. Saat mempelajari suatu permasalahan yang direduksi menjadi persamaan kubik, Archimedes menemukan peran suatu sifat, yang kemudian disebut diskriminan.

Francois Viet hidup pada abad ke-16. Dia memberikan kontribusi besar dalam mempelajari berbagai masalah matematika. Secara khusus, ia memperkenalkan sebutan huruf untuk koefisien persamaan dan membuat hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat.

Leonhard Euler (1707 – 1783) - ahli matematika, mekanik, fisikawan dan astronom. Penulis St. 800 karya tentang analisis matematika, persamaan diferensial, geometri, teori bilangan, perhitungan perkiraan, mekanika langit, matematika, optik, balistik, pembuatan kapal, teori musik, dll. Ia mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan. Dia menurunkan rumus (Rumus Euler) yang menyatakan fungsi trigonometri variabel x melalui fungsi eksponensial.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), ahli matematika dan mekanik Perancis. Ia telah melakukan penelitian yang luar biasa, termasuk penelitian tentang aljabar (fungsi simetris dari akar-akar persamaan, persamaan diferensial (teori solusi tunggal, metode variasi konstanta).

J. Lagrange dan A. Vandermonde adalah matematikawan Perancis. Pada tahun 1771, metode penyelesaian sistem persamaan (metode substitusi) pertama kali digunakan.

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - matematikawan Jerman. Dia menulis sebuah buku yang menguraikan teori persamaan pembagian lingkaran (yaitu persamaan xn - 1 = 0), yang dalam banyak hal merupakan prototipe teori Galois. Selain metode umum untuk menyelesaikan persamaan ini, ia membuat hubungan antara persamaan tersebut dan konstruksi poligon beraturan. Untuk pertama kalinya sejak para ilmuwan Yunani kuno, ia membuat langkah maju yang signifikan dalam hal ini, yaitu: ia menemukan semua nilai n yang dengannya n-gon beraturan dapat dibuat dengan kompas dan penggaris. Saya mempelajari metode penjumlahan. Saya menyimpulkan bahwa sistem persamaan dapat dijumlahkan, dibagi, dan dikalikan.

O. I. Somov - memperkaya berbagai bagian matematika dengan karya-karya penting dan banyak, di antaranya teori persamaan aljabar tertentu yang derajatnya lebih tinggi.

Galois Evariste (1811-1832) - matematikawan Perancis. Kelebihan utamanya adalah perumusan sekumpulan gagasan yang ia dapatkan sehubungan dengan kelanjutan penelitian tentang solvabilitas persamaan aljabar, yang dimulai oleh J. Lagrange, N. Abel, dan lain-lain, dan menciptakan teori persamaan aljabar. derajat yang lebih tinggi dengan satu yang tidak diketahui.

A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Karyanya menggabungkan metode geometri dengan metode analisis teori persamaan diferensial parsial. Karya-karyanya juga memberikan pengaruh yang signifikan terhadap teori persamaan diferensial nonlinier.

P. Ruffini - Matematikawan Italia. Dia mengabdikan sejumlah karyanya untuk membuktikan persamaan derajat 5 yang tidak dapat dipecahkan, secara sistematis menggunakan ketertutupan himpunan substitusi.

Meskipun para ilmuwan telah mempelajari persamaan sejak lama, sains tidak mengetahui bagaimana dan kapan orang perlu menggunakan persamaan. Hanya diketahui bahwa manusia telah memecahkan masalah yang mengarah pada penyelesaian persamaan paling sederhana sejak mereka menjadi manusia. 3 - 4 ribu tahun lagi SM. e. Orang Mesir dan Babilonia tahu cara menyelesaikan persamaan. Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini sama dengan aturan modern, tetapi tidak diketahui bagaimana persamaan tersebut sampai ke sana.

Di Mesir Kuno dan Babilonia, metode posisi palsu digunakan. Persamaan derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui selalu dapat direduksi menjadi bentuk ax + b = c, dimana a, b, c adalah bilangan bulat. Menurut aturan operasi aritmatika, ax = c - b,

Jika b > c, maka c b bilangan negatif. Bilangan negatif tidak diketahui oleh orang Mesir dan banyak bangsa lain di kemudian hari (bilangan negatif mulai digunakan dalam matematika sejajar dengan bilangan positif hanya pada abad ketujuh belas). Untuk menyelesaikan masalah yang sekarang kita selesaikan dengan persamaan derajat pertama, ditemukan metode posisi palsu. Dalam papirus Ahmes, 15 masalah diselesaikan dengan metode ini. Orang Mesir memiliki tanda khusus untuk nomor yang tidak diketahui, yang sampai saat ini dibaca "bagaimana" dan diterjemahkan sebagai "heap" ("heap" atau "unknown number" dari satuan). Sekarang mereka membaca dengan tidak terlalu akurat: “ya.” Metode penyelesaian yang digunakan Ahmed disebut metode satu posisi salah. Dengan menggunakan metode ini, persamaan bentuk ax = b diselesaikan. Metode ini melibatkan membagi setiap sisi persamaan dengan a. Itu digunakan oleh orang Mesir dan Babilonia. Bangsa yang berbeda menggunakan metode dua posisi yang salah. Orang-orang Arab menerapkan metode ini secara mekanis dan memperoleh bentuk yang kemudian ditransfer ke buku teks masyarakat Eropa, termasuk Aritmatika Magnitsky. Magnitsky menyebut solusi tersebut sebagai “aturan yang salah” dan menulis di bagian bukunya yang menguraikan metode ini:

Bagian ini sangat licik, karena Anda bisa memasukkan semuanya. Bukan hanya apa yang ada dalam kewarganegaraan, tetapi juga ilmu-ilmu yang lebih tinggi di bidang antariksa, yang tercantum dalam lingkup surga, sesuai kebutuhan orang bijak.

Isi puisi Magnitsky dapat diringkas secara singkat sebagai berikut: bagian aritmatika ini sangat rumit. Dengan bantuannya, Anda tidak hanya dapat menghitung apa yang dibutuhkan dalam praktik sehari-hari, tetapi juga memecahkan pertanyaan-pertanyaan “lebih tinggi” yang dihadapi oleh “bijaksana”. Magnitsky menggunakan “aturan yang salah” dalam bentuk yang diberikan oleh orang-orang Arab, dengan menyebutnya sebagai “aritmatika dua kesalahan” atau “metode skala”. Matematikawan India sering memberikan soal dalam bentuk syair. Masalah teratai:

Di atas danau yang tenang, setengah ukuran di atas air, terlihat warna bunga teratai. Dia tumbuh sendirian, dan angin, seperti ombak, Membengkokkannya ke samping, dan tidak lagi

Bunga di atas air. Mata nelayan menemukannya dua meter dari tempat ia dibesarkan. Seberapa dalam air danau di sini? Saya akan mengajukan pertanyaan kepada Anda.

Jenis persamaan

Persamaan linear

Persamaan linier adalah persamaan yang bentuknya: ax + b = 0, dimana a dan b adalah suatu konstanta. Jika a tidak sama dengan nol, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar tunggal: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).

Contoh: selesaikan persamaan linear: 4x + 12 = 0.

Penyelesaian: Karena a = 4, dan b = 12, maka x = - 12:4; x = - 3.

Periksa: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Karena 0 = 0, maka -3 adalah akar persamaan aslinya.

Menjawab. x = -3

Jika a sama dengan nol dan b sama dengan nol, maka akar persamaan ax + b = 0 adalah bilangan apa pun.

Misalnya:

0 = 0. Karena 0 sama dengan 0, maka akar persamaan 0x + 0 = 0 adalah bilangan apa pun.

Jika a sama dengan nol dan b tidak sama dengan nol, maka persamaan ax + b = 0 tidak mempunyai akar.

Misalnya:

0 = 6. Karena 0 tidak sama dengan 6, maka 0x – 6 = 0 tidak mempunyai akar.

Sistem persamaan linear.

Sistem persamaan linier adalah sistem yang semua persamaannya linier.

Memecahkan suatu sistem berarti menemukan semua solusinya.

Sebelum menyelesaikan sistem persamaan linear, Anda dapat menentukan jumlah penyelesaiannya.

Misalkan diberikan sistem persamaan: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

Jika a1 dibagi a2 tidak sama dengan b1 dibagi b2, maka sistem mempunyai satu solusi unik.

Jika a1 dibagi a2 sama dengan b1 dibagi b2, tetapi sama dengan c1 dibagi c2, maka sistem tersebut tidak mempunyai penyelesaian.

Jika a1 dibagi a2 sama dengan b1 dibagi b2, dan sama dengan c1 dibagi c2, maka sistem tersebut mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya.

Sistem persamaan yang mempunyai paling sedikit satu solusi disebut sistem persamaan simultan.

Suatu sistem yang konsisten disebut pasti jika mempunyai jumlah solusi yang terbatas, dan tidak terbatas jika himpunan solusinya tidak terbatas.

Suatu sistem yang tidak mempunyai solusi tunggal disebut tidak konsisten atau kontradiktif.

Metode penyelesaian persamaan linear

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear:

1) Metode seleksi. Ini adalah cara paling sederhana. Ini terdiri dari pemilihan semua nilai valid dari yang tidak diketahui dengan enumerasi.

Misalnya:

Selesaikan persamaannya.

Misalkan x = 1. Maka

4 = 6. Karena 4 tidak sama dengan 6, maka asumsi kita bahwa x = 1 salah.

Misalkan x = 2.

6 = 6. Karena 6 sama dengan 6, maka asumsi kita bahwa x = 2 benar.

Jawaban: x = 2.

2) Metode penyederhanaan

Metode ini terdiri dari memindahkan semua suku yang mengandung suku yang tidak diketahui ke ruas kiri, dan suku yang diketahui ke ruas kanan yang bertanda berlawanan, membawa suku yang serupa, dan membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien yang tidak diketahui.

Misalnya:

Selesaikan persamaannya.

5x – 4 = 11 + 2x;

5x – 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Menjawab. x = 5.

3) Metode grafis.

Ini terdiri dari membuat grafik fungsi persamaan tertentu. Karena dalam persamaan linier y = 0, grafiknya sejajar dengan ordinat. Titik potong grafik dengan sumbu x akan menjadi solusi persamaan ini.

Misalnya:

Selesaikan persamaannya.

Misalkan y = 7. Maka y = 2x + 3.

Mari kita gambarkan fungsi kedua persamaan:

Metode penyelesaian sistem persamaan linear

Di kelas tujuh, mereka mempelajari tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan:

1) Metode substitusi.

Metode ini terdiri dari menyatakan satu hal yang tidak diketahui ke dalam hal lain dalam salah satu persamaan. Ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke persamaan lain, yang kemudian diubah menjadi persamaan dengan satu persamaan yang tidak diketahui, dan kemudian diselesaikan. Nilai yang dihasilkan dari hal yang tidak diketahui ini disubstitusikan ke dalam persamaan mana pun dari sistem asli dan nilai dari hal yang tidak diketahui kedua ditemukan.

Misalnya.

Selesaikan sistem persamaan.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + kamu = 4; kamu = 4 - 3x.

Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan lain:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x – 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan 3x + y = 4.

3 1 + kamu = 4;

3 + kamu = 4; kamu = 4 – 3; kamu = 1.

Penyelidikan.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

Jawaban: x = 1; kamu = 1.

2) Metode penjumlahan.

Caranya adalah jika suatu sistem terdiri dari persamaan-persamaan yang jika dijumlahkan suku demi suku, membentuk persamaan dengan satu persamaan yang tidak diketahui, maka dengan menyelesaikan persamaan tersebut kita akan memperoleh nilai salah satu persamaan tersebut. Nilai yang dihasilkan dari hal yang tidak diketahui ini disubstitusikan ke dalam persamaan apa pun dari sistem asli dan nilai dari hal yang tidak diketahui kedua ditemukan.

Misalnya:

Selesaikan sistem persamaan.

/3у – 2х = 5,

\5x – 3 tahun = 4.

Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan.

3x = 9; : (3) x = 3.

Mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan 3y – 2x = 5.

3у – 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) kamu = 11/3; kamu = 3 2/3.

Jadi x = 3; kamu = 3 2/3.

Penyelidikan.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;

Menjawab. x = 3; kamu = 3 2/3

3) Metode grafis.

Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa persamaan diplot dalam satu sistem koordinat. Jika grafik suatu persamaan berpotongan, maka koordinat titik potong tersebut merupakan penyelesaian sistem tersebut. Jika grafik persamaannya berupa garis sejajar, maka sistem ini tidak mempunyai solusi. Jika grafik-grafik persamaan tersebut bergabung menjadi satu garis lurus, maka sistem tersebut mempunyai banyak penyelesaian yang tak terhingga.

Misalnya.

Selesaikan sistem persamaan.

18x + 3 tahun - 1 = 8.

2x - kamu = 5; 18x + 3 tahun - 1 = 8;

kamu = 5 - 2x; 3 tahun = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Mari kita buat grafik fungsi y = 2x - 5 dan y = 3 - 6x pada sistem koordinat yang sama.

Grafik fungsi y = 2x - 5 dan y = 3 - 6x berpotongan di titik A (1; -3).

Oleh karena itu, penyelesaian sistem persamaan ini adalah x = 1 dan y = -3.

Penyelidikan.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Menjawab. x = 1; kamu = -3.

Kesimpulan

Berdasarkan uraian di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan diperlukan di dunia modern tidak hanya untuk memecahkan masalah praktis, tetapi juga sebagai alat ilmiah. Itulah sebabnya banyak ilmuwan yang mempelajari masalah ini dan terus mempelajarinya.

Jenis-jenis persamaan aljabar dan cara penyelesaiannya

Bagi siswa yang tertarik dengan matematika, ketika menyelesaikan persamaan aljabar derajat yang lebih tinggi, metode yang efektif untuk menemukan akar dengan cepat, membaginya dengan sisa dengan binomial x -  atau dengan ax + b, adalah skema Horner.

Pertimbangkan skema Horner.

Mari kita menyatakan hasil bagi tidak lengkap ketika membagi P(x) dengan x –  melalui

Q (x) = b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + ... + b n -1, dan sisanya adalah b n.

Karena P(x) = Q (x)(x–) + b n, maka persamaannya berlaku

sebuah 0 x n + а 1 x n -1 + … + а n = (b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + … + b n -1)(х– ) + b n

Mari kita buka tanda kurung di sisi kanan dan bandingkan koefisien pangkat x yang sama di kiri dan kanan. Kita peroleh bahwa a 0 = b 0 dan untuk 1  k  n relasi a k ​​= b k -  b k -1 berlaku. Maka b 0 = a 0 dan b k = a k +  b k -1, 1  k  n.

Perhitungan koefisien polinomial Q (x) dan sisanya b n kita tuliskan dalam bentuk tabel:

sebuah 0

sebuah 1

sebuah 2

A n-1

A N

b 0 = a 0

b 1 = a 1 +  b 0

b 2 = a 2 +  b 1

b n-1 = a n-1 +  b n-2

b n = an +  b n-1

Contoh 1. Bagilah polinomial 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 dengan x + 1.

Larutan. Kami menggunakan skema Horner.

Saat membagi 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 dengan x + 1 kita mendapatkan 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Jawaban: 2 x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Contoh 2. Hitung P(3), dimana P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

Larutan. Dengan menggunakan teorema Bezout dan skema Horner, kita memperoleh:

Jawaban: P(3) = 535

Latihan

Dengan menggunakan diagram Horner, bagilah polinomial tersebut

4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2 pada x + 2;

2) Bagilah polinomialnya

2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1 pada x + 1;

3) Tentukan nilai polinomial P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 untuk x = 7.

1.1. Menemukan akar rasional persamaan dengan koefisien bilangan bulat

Cara mencari akar rasional persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat diberikan oleh teorema berikut.

Dalil: Jika suatu persamaan dengan koefisien bilangan bulat mempunyai akar-akar rasional, maka persamaan tersebut adalah hasil bagi dari pembagi suku bebas dengan pembagi koefisien utama.

Bukti: a 0 x n + a 1 x n -1 + … + an = 0

Misalkan x = p/ q adalah akar rasional, q, p adalah koprima.

Substitusikan pecahan p/q ke dalam persamaan dan bebaskan penyebutnya, kita peroleh

sebuah 0 hal n + a 1 p n -1 q + … + an -1 pq n -1 + a n q n = 0 (1)

Mari kita tulis ulang (1) dengan dua cara:

a n q n = р(– а 0 р n -1 – а 1 р n -2 q – … – а n -1 q n -1) (2)

sebuah 0 hal n = q (– а 1 р n -1 –… – а n -1 рq n -2 – а n q n -1) (3)

Dari persamaan (2) maka a n q n habis dibagi p, dan karena q n dan p koprima, maka an habis dibagi p. Demikian pula dari persamaan (3) maka a 0 habis dibagi q. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0.

Larutan. Persamaan tersebut tidak memiliki akar bilangan bulat; kita menemukan akar rasional persamaan tersebut. Misalkan pecahan tak tersederhanakan p /q menjadi akar persamaan, maka p ditemukan di antara pembagi suku bebas, yaitu. di antara bilangan  1, dan q di antara pembagi positif koefisien utama: 1; 2.

Itu. akar rasional persamaan harus dicari di antara bilangan  1,  1/2, menyatakan P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1)  0, P 3 (–1)  0,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 adalah akar persamaan.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

Kita mendapatkan: x 2 (2x – 1) – 3x (2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Menyamakan faktor kedua dengan nol dan menyelesaikan persamaannya, kita mendapatkan

Menjawab:
,

Latihan

Selesaikan persamaan:

6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;

6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;

3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. Persamaan timbal balik dan metode penyelesaiannya

Definisi. Persamaan dengan pangkat bilangan bulat terhadap suatu hal yang tidak diketahui disebut timbal balik jika koefisiennya, yang berjarak sama dari ujung ruas kiri, sama satu sama lain, yaitu. persamaan bentuk

A x n + bx n -1 + cx n -2 + … + cx 2 + bx + a = 0

Persamaan timbal balik berderajat ganjil

A x 2 n +1 + bx 2 n + cx 2 n -1 + … + cx 2 + bx + a = 0

selalu mempunyai akar x = – 1. Oleh karena itu, persamaan tersebut setara dengan menggabungkan persamaan x + 1 = 0 dan  x 2 n +  x 2 n -1 + … +  x +  = 0. Persamaan terakhir adalah a persamaan timbal balik derajat genap. Jadi, menyelesaikan persamaan timbal balik dengan derajat berapa pun direduksi menjadi menyelesaikan persamaan timbal balik dengan derajat genap.

Bagaimana cara mengatasinya? Biarkan persamaan timbal balik dengan derajat genap diberikan

A x 2 n + bx 2 n -1 + … + dx n +1 + ex n + dx n -1 + … + bx + a = 0

Perhatikan bahwa x = 0 bukan akar persamaan. Lalu kita bagi persamaannya dengan x n, kita peroleh

A x n + bx n -1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1- n + kapak -n = 0

Kami mengelompokkan suku-suku di sisi kiri secara berpasangan

A( x n + x - n ) + b (x n -1 + x -(n -1) + … + d(x + x -1 ) + e = 0

Kita lakukan penggantian x + x -1 = y. Setelah mensubstitusi ekspresi x 2 + x -2 = y 2 – 2;

x 3 + x -3 = kamu 3 – 3kamu; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 ke dalam persamaan kita peroleh persamaannya padaАу n + Oleh n -1 + Cy n -2 + … + Ey + D = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda perlu menyelesaikan beberapa persamaan kuadrat berbentuk x + x -1 = y k, dimana k = 1, 2, ... n. Jadi, kita memperoleh akar-akar persamaan aslinya.

Contoh 1. Selesaikan persamaan x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0.

Larutan. x = – 1 adalah akar persamaan. Mari kita terapkan skema Horner.

Persamaan kita akan berbentuk:

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | : x 3  0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

Pengelompokan, kita mendapatkan: .

Mari kita perkenalkan penggantinya:
;
;
.

Kami mendapatkan secara relatif pada persamaan: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

kamu 3 + kamu 2 – 9kamu – 9 = 0; kamu 2 (kamu + 1) – 9 (kamu + 1) = 0; (kamu + 1)(kamu 2 – 9); kamu 1 = -1, kamu 2,3 ​​=  3.

Memecahkan persamaan
,
,
,

kami mendapatkan akarnya:
,
,
,

Jawaban: x 1 = -1,
,

Latihan

Selesaikan persamaan.

2x 5 + 5x 4 – 13x 3 – 13x 2 + 5x + 2 = 0;

2x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 2 = 0;

15x 5 + 34x 4 + 15x 3 – 15x 2 – 34x – 15 = 0.

1.3. Metode penggantian variabel untuk menyelesaikan persamaan

Metode penggantian variabel adalah metode yang paling umum. Seni membuat perubahan variabel adalah dengan melihat perubahan mana yang paling masuk akal dan akan membawa kesuksesan lebih cepat.

Jika diberi persamaan

F(f(x)) = 0, (1)

kemudian dengan mengganti y = f (x) yang tidak diketahui terlebih dahulu direduksi menjadi persamaan

F(y) = 0, (2)

dan kemudian setelah menemukan semua solusi persamaan (2) y 1, y 2, ..., yn, ... direduksi menjadi penyelesaian himpunan persamaan f (x) = y 1, f (x) = y 2 ,..., f(x) = y 2,...

Cara utama untuk menerapkan metode penggantian variabel adalah:

menggunakan sifat dasar pecahan;

menyorot kuadrat binomial;

transisi ke sistem persamaan;

membuka tanda kurung berpasangan;

membuka tanda kurung berpasangan dan membagi kedua ruas persamaan;

menurunkan derajat persamaan;

penggantian ganda.

1.3.1. Mengurangi kekuatan persamaan

Selesaikan persamaan (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3)

Larutan. Mari kita nyatakan x 2 + x + 2 = y, lalu ambil y (y + 1) = 6, dengan menyelesaikan persamaan terakhir, kita mendapatkan y 1 = 2, y 2 = -3. Persamaan (3) ini ekuivalen dengan himpunan persamaan x 2 + x + 2 = 2

x 2 + x + 2 = -3

Menyelesaikan yang pertama, kita mendapatkan x 1 = 0, x 2 = -1. Memecahkan yang kedua, kita dapatkan
,

Jawaban: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. Persamaan derajat keempat berbentuk (x + a)(x +B )(X + C )(X + D ) = M , dimana a + b = c + d, atau a + c = b + d, atau a + d = b + c.

Contoh. Selesaikan persamaan (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40

Larutan. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, dengan mengalikan pasangan tanda kurung tersebut, kita peroleh persamaan (x 2 - 5x - 14)(x 2 - 5x + 4) = 40

Mari kita perkenalkan penggantiannya: x 2 - 5x – 14 = y, kita mendapatkan persamaan y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0. y 1 = -20, y 2 = 2. Kembali ke variabel awal, kita menyelesaikan sekumpulan persamaan:

X 2 - 5x – 14 = - 20 x 1 = 2; x 2 = 3

x 2 - 5x – 14 = 2 x 3,4 =

Jawaban: x 1 = 2; x 2 = 3 x 3,4 =

1.3.3. Persamaan berbentuk (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ex 2,

Di mana ab = cd, atau ac =bd, atau iklan = bc. Buka tanda kurung secara berpasangan dan bagi kedua bagian dengan x 2  0.

Contoh. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x 2

Larutan. Hasil kali bilangan-bilangan pada kurung pertama dan ketiga serta pada kurung kedua dan keempat adalah sama, yaitu – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Mari kalikan pasangan tanda kurung yang ditunjukkan dan tulis persamaannya (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2.

Karena x = 0 bukan akar persamaan, maka kedua ruas persamaan tersebut kita bagi dengan x 2  0, kita mendapatkan:
, penggantian:
, persamaan aslinya akan berbentuk:T(T+3) =4, T 2 + 3 T=4, T 2 + 3 T – 4=0, T 1 =1, T 2 = - 4.

Mari kita kembali ke variabel awal:

x 2 - 10x + 8 = 0

x 2 - 5x + 8 = 0

Kami menyelesaikan persamaan pertama, kami mendapatkan x 1,2 = 5 

Persamaan kedua tidak memiliki akar.

Jawaban: x 1,2 = 5 

1.3.4. Persamaan tipe keempat (ax 2 + b 1 x + c)(a x 2 + b 2 x + c) = A x 2

Persamaan (kapak 2 + B 1x+ C)(A x 2 + B 2 X + C) = A x 2, dimana c  0, A  2
, yang setelah mengganti yang tidak diketahui
dapat ditulis ulang sebagai persegi dan dapat diselesaikan dengan mudah.

Contoh. (x 2 + x+ 2)(x 2 + 2x + 2) = 2x 2

Larutan. Sangat mudah untuk melihat bahwa x = 0 bukan akar persamaan ini dengan membagi persamaan ini dengan x 2 , kita mendapatkan persamaannya

penggantian
, kita mendapatkan persamaan (y+1)(y+2) = 2, menyelesaikannya, kita memiliki akar y 1 = 0; di 2 = - 3, maka persamaan aslinya ekuivalen dengan himpunan persamaan tersebut

penyelesaiannya, kita mendapatkan x 1 = -1; x 2 = -2.

Jawaban: x 1 = -1; x 2 = -2

1.3.5. Persamaan bentuk: a (cx 2 + p 1 x + q) 2 + b (cx 2 + p 2 x + q) 2 = Ax 2

Persamaannya A(cx 2 + P 1 X + Q) 2 + B(cx 2 + P 2 X + Q) 2 = Kapak 2 dimana A, B, C, Q, A adalah seperti itu Q 0, A 0, C 0, A 0, B 0 tidak mempunyai akar x = 0, jadi bagilah persamaan tersebut dengan x 2 , kita memperoleh persamaan ekuivalen
, yang setelah penggantian
dapat ditulis ulang menjadi persamaan kuadrat yang mudah diselesaikan. + 1)( x 2 – 14x + 15 = 0

X 2 – 7 X + 15 = 0

Menjawab: