რა ახასიათებს ნაწილობრივი მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტს? კორელაციის კოეფიციენტი და მიზეზ-შედეგობრივი კავშირი: ფორმულები და მათი ინტერპრეტაცია. მედიის მიკერძოება

აქამდე ჩვენ განვიხილავდით კორელაციას ორ მახასიათებელს შორის: ეფექტური ( ზე) და ფაქტორი (X).მაგალითად, პროდუქტის გამოშვება დამოკიდებულია არა მხოლოდ ძირითადი კაპიტალის ზომაზე, არამედ მუშაკთა კვალიფიკაციის დონეზე, აღჭურვილობის მდგომარეობაზე, ნედლეულის ხელმისაწვდომობასა და ხარისხზე, შრომის ორგანიზაციაზე და ა.შ. ამ მხრივ საჭიროა შესწავლა და გაზომოს კავშირი მიღებულ მახასიათებელსა და ორ ან მეტ ფაქტორულს შორის. ამას აკეთებს მრავალჯერადი კორელაცია.

მრავალჯერადი კორელაცია წყვეტს სამ პრობლემას. იგი განსაზღვრავს:

1) კომუნიკაციის ფორმა;

2) კომუნიკაციის სიახლოვე;

3) ინდივიდუალური ფაქტორების გავლენა საერთო შედეგზე.

კავშირის ფორმის განსაზღვრა ჩვეულებრივ მოდის y კავშირის განტოლების პოვნაზე ფაქტორებთან x,z,w,...y.ამრიგად, ეფექტური მახასიათებლის დამოკიდებულების წრფივი განტოლება ორ ფაქტორზე განისაზღვრება ფორმულით

პარამეტრების განსაზღვრა a 0, a)და a 2,უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენებით, აუცილებელია სამი ნორმალური განტოლების შემდეგი სისტემის ამოხსნა:

(8.29.)

მრავალჯერადი დამოკიდებულებისთვის კავშირის სიახლოვის დადგენისას გამოიყენება მრავალჯერადი (კუმულაციური) კორელაციის კოეფიციენტი, მანამდე გამოთვლილი წყვილის კორელაციის კოეფიციენტები. ამრიგად, ეფექტურ მახასიათებელს შორის ურთიერთობის შესწავლისას ზედა ორი ფაქტორის ნიშანი - Xდა z,აუცილებელია პირველ რიგში დადგინდეს შორის კავშირის სიახლოვე ზედა X,შორის ზედა z,იმათ. გამოთვალეთ წყვილი კორელაციის კოეფიციენტები და შემდეგ, რათა დადგინდეს კავშირის სიახლოვე მიღებულ მახასიათებელსა და ორ ფაქტორს შორის, გამოთვალეთ მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტიშემდეგი ფორმულის მიხედვით:

(8.30.)

სადაც r xy, r zy, r xz - წყვილი კორელაციის კოეფიციენტები.

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი მერყეობს 0-დან 1-მდე. რაც უფრო ახლოს არის ის 1-თან, მით მეტი ფაქტორია გათვალისწინებული საბოლოო შედეგს.

თუ მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი კვადრატშია, მივიღებთ განსაზღვრის ჯამურ კოეფიციენტს, რომელიც ახასიათებს მიღებული მახასიათებლის ცვალებადობის პროპორციას. ზეყველა შესწავლილი ფაქტორის მახასიათებლის გავლენის ქვეშ.

განსაზღვრის კუმულაციური კოეფიციენტი,როგორც წყვილი კორელაციის შემთხვევაში, შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

სადაც არის ფაქტორების მახასიათებლების დისპერსია და არის მიღებული მახასიათებლის დისპერსია. თუმცა, თეორიული მნიშვნელობების გაანგარიშება იმრავალჯერადი კორელაციით ეს არის რთული და შრომატევადი. Ამიტომაც ფაქტორის განსხვავებაგამოითვლება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით.

მრავალჯერადი რეგრესიის განტოლების პრაქტიკული მნიშვნელობა ფასდება მრავალჯერადი კორელაციის ინდიკატორისა და მისი კვადრატის - განსაზღვრის კოეფიციენტის გამოყენებით.

განსაზღვრის კოეფიციენტი გვიჩვენებს შედეგიან მახასიათებლის ცვალებადობის პროპორციას, რომელიც იმყოფება ფაქტორების მახასიათებლების გავლენის ქვეშ, ე.ი. განსაზღვრავს რა პროპორციას აქვს ცვალებადობა ნიშანში ზეგათვალისწინებულია მოდელში და განპირობებულია მასზე მოდელში შემავალი ფაქტორების გავლენით:

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც განსაზღვრის კოეფიციენტის კვადრატული ფესვი. რაც უფრო ახლოს არის კორელაციის კოეფიციენტი ერთთან, მით უფრო მჭიდროა კავშირი შედეგსა და ყველა ფაქტორს შორის და რეგრესიის განტოლება უკეთ აღწერს რეალურ მონაცემებს. თუ მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი ახლოს არის ნულთან, მაშინ რეგრესიის განტოლება ცუდად აღწერს რეალურ მონაცემებს და ფაქტორები მცირე გავლენას ახდენენ შედეგზე. ეს კოეფიციენტი, განსხვავებით წყვილი კორელაციის კოეფიციენტისგან, არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ურთიერთობის მიმართულების ინტერპრეტაციისთვის.

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა მეტია ან ტოლია მაქსიმალური წყვილის კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობაზე:

წრფივი მრავალჯერადი რეგრესიისთვის, მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

შესაბამისად, მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტია:

არსებობს კიდევ ერთი ფორმულა წრფივი რეგრესიის მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის გამოსათვლელად:

სად არის ხაზოვანი დაწყვილებული კორელაციის კოეფიციენტების სრული მატრიცის განმსაზღვრელი (ანუ ფაქტორების დაწყვილებული წრფივი კორელაციის კოეფიციენტების შედეგთან და ერთმანეთთან):

ფაქტორებს შორის წრფივი წყვილის კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი:

განსაზღვრის მორგებული კოეფიციენტი ასევე გამოითვლება:

სად ნ– დაკვირვებების რაოდენობა;

მ– რეგრესიის განტოლების პარამეტრების რაოდენობა თავისუფალი ტერმინის გათვალისწინების გარეშე (მაგალითად, წრფივი რეგრესიისთვის, ეს რიცხვი უდრის მოდელში შემავალი ფაქტორების რაოდენობას).

განსაზღვრის კორექტირებული კოეფიციენტი გამოიყენება ორი პრობლემის გადასაჭრელად: შედეგსა და ფაქტორებს შორის ურთიერთობის რეალური სიახლოვის შეფასება და სხვადასხვა რაოდენობის პარამეტრების მოდელების შედარება. პირველ შემთხვევაში ყურადღება ეთმობა დეტერმინაციის მორგებული და დაურეგულირებელი კოეფიციენტების სიახლოვეს. თუ ეს ინდიკატორები დიდია და მხოლოდ ოდნავ განსხვავდება, მოდელი კარგად ითვლება.

სხვადასხვა მოდელების, ceteris paribus-ის შედარებისას უპირატესობა ენიჭება მას, რომელსაც აქვს უფრო დიდი დარეგულირებული განსაზღვრის კოეფიციენტი.

უნდა აღინიშნოს, რომ განსაზღვრის კორექტირებული კოეფიციენტის გამოყენების ფარგლები შემოიფარგლება მხოლოდ ამ ამოცანებით. ის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფორმულებში, სადაც გამოიყენება განსაზღვრის ჩვეულებრივი კოეფიციენტი. განსაზღვრის კორექტირებული კოეფიციენტი არ შეიძლება იყოს ინტერპრეტირებული, როგორც შედეგის ცვალებადობის პროპორცია, რომელიც აიხსნება რეგრესიის მოდელში შემავალი ფაქტორების ვარიაციებით.

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელოვნების შესამოწმებლად გამოიყენეთ ფ-ფიშერის კრიტერიუმი, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით:

სად R 2– მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტი;

მ– პარამეტრების რაოდენობა x ფაქტორებისთვის მრავალჯერადი რეგრესიის განტოლებაში (დაწყვილებულ რეგრესიაში მ=1).

მიღებული F- ტესტის მნიშვნელობა შედარებულია ცხრილის მნიშვნელობასთან გარკვეული მნიშვნელოვნების დონეზე და მდა n-m-1თავისუფლების ხარისხები. თუ გამოთვლილი მნიშვნელობა ფ-კრიტერიუმი უფრო დიდია ვიდრე ცხრილი, მრავალჯერადი რეგრესიის განტოლება ითვლება მნიშვნელოვანად.

მრავალჯერადი რეგრესიის განტოლების პრაქტიკული მნიშვნელობა ფასდება მრავალჯერადი კორელაციის ინდიკატორისა და მისი კვადრატის - განსაზღვრის კოეფიციენტის გამოყენებით.

მრავალჯერადი კორელაციის ინდიკატორი ახასიათებს კავშირის სიახლოვეს განსახილველ ფაქტორთა სიმრავლესა და შესასწავლ მახასიათებელს შორის, ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აფასებს შედეგზე ფაქტორების ერთობლივი გავლენის სიახლოვეს.

ურთიერთობის ფორმის მიუხედავად, მრავალჯერადი კორელაციის ინდიკატორი შეიძლება მოიძებნოს, როგორც მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსი:

სად – შედეგიანი ატრიბუტის სრული დისპერსია;

- ნარჩენი ვარიაცია განტოლებისთვის
.

მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსის აგების ტექნიკა მსგავსია წყვილური დამოკიდებულების კორელაციის ინდექსის აგების. მისი ცვლილების საზღვრები იგივეა: 0-დან 1-მდე. რაც უფრო ახლოს არის მისი მნიშვნელობა 1-თან, მით უფრო მჭიდროა კავშირი ეფექტურ მახასიათებელსა და შესასწავლ ფაქტორების მთელ კომპლექსს შორის. მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსის მნიშვნელობა უნდა იყოს მეტი ან ტოლი მაქსიმალური წყვილი კორელაციის ინდექსზე:

.

თუ ფაქტორები სწორად არის ჩართული რეგრესიის ანალიზში, მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსის მნიშვნელობა მნიშვნელოვნად განსხვავდება წყვილი კორელაციის ინდექსისგან. თუ მრავალჯერადი რეგრესიის განტოლებაში დამატებით შეტანილი ფაქტორები მესამეულია, მაშინ მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსი შეიძლება პრაქტიკულად ემთხვეოდეს წყვილის კორელაციის ინდექსს (განსხვავებები მესამე და მეოთხე ციფრებში). აქედან ირკვევა, რომ მრავალჯერადი და წყვილი კორელაციური ინდექსების შედარებით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მიზანშეწონილია ამა თუ იმ ფაქტორის ჩართვა რეგრესიის განტოლებაში. ასე რომ, თუ განიხილება როგორც ფუნქცია და და მივიღეთ მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსი
, და წყვილი კორელაციის ინდექსები იყო
და
, მაშინ აბსოლუტურად ნათელია, რომ წყვილი რეგრესიის განტოლება
დაფარა ფაქტორების გავლენის ქვეშ მიღებული მახასიათებლის ცვალებადობის 67,2%. , და დამატებითი ჩართვა ფაქტორის ანალიზში გაიზარდა ახსნილი ვარიაციის წილი 72.3%-მდე, ანუ ნარჩენი ვარიაციის წილი შემცირდა 5.1 პროცენტით. ქულები (32,8-დან 27,7%-მდე).

მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსის გამოთვლა მოიცავს მრავალჯერადი რეგრესიის განტოლების განსაზღვრას და მასზე დაყრდნობით ნარჩენი დისპერსიის დადგენას:

.

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსის ფორმულა:

მახასიათებლების წრფივი დამოკიდებულებით, კორელაციის ინდექსის ფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი გამოსახულებით:

,

სად – სტანდარტიზებული რეგრესიის კოეფიციენტები;

– შედეგის დაწყვილებული კორელაციის კოეფიციენტები თითოეულ ფაქტორთან.

ან სხვანაირად:

წრფივი რეგრესიის მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსის ფორმულა ეწოდება წრფივი მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი ან, რა არის იგივე, კუმულაციური კორელაციის კოეფიციენტი .

ასევე შესაძლებელია, წრფივი დამოკიდებულებით, დადგინდეს მთლიანი კორელაციის კოეფიციენტი დაწყვილებული კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცის მეშვეობით:

სად
– წყვილის კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი;

– ინტერფაქტორების კორელაციის მატრიცის განმსაზღვრელი.

განტოლებისთვის, წყვილი კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი მიიღებს ფორმას:

ქვედა რიგის განმსაზღვრელი
რჩება, როდესაც პირველი სვეტი და პირველი სტრიქონი წაიშლება წყვილი კორელაციის კოეფიციენტების მატრიციდან, რომელიც შეესაბამება ფაქტორებს შორის წყვილი კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცას:

როგორც ვხედავთ, მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა დამოკიდებულია არა მხოლოდ შედეგის კორელაციაზე თითოეულ ფაქტორთან, არამედ ინტერფაქტორების კორელაციაზეც. განხილული ფორმულა საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მთლიანი კორელაციის კოეფიციენტი მრავალჯერადი რეგრესიის განტოლების გამოყენების გარეშე, მაგრამ მხოლოდ დაწყვილებული კორელაციის კოეფიციენტების გამოყენებით.

ორფაქტორიანი რეგრესიის განტოლებისთვის სამი ცვლადით, კუმულაციური კორელაციის კოეფიციენტის ეს ფორმულა ადვილად შეიძლება შემცირდეს შემდეგ ფორმამდე:

მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსი უდრის მთლიან კორელაციის კოეფიციენტს არა მხოლოდ განსახილველი მახასიათებლების წრფივი დამოკიდებულებისათვის. ამ ინდიკატორების იდენტურობა, ისევე როგორც დაწყვილებულ რეგრესიაში, ასევე ვლინდება ცვლადებში არაწრფივი მრუდი ურთიერთობისთვის.

განხილული მრავალჯერადი კორელაციური ინდიკატორები (ინდექსი და კოეფიციენტი) იყენებენ ნარჩენ დისპერსიას, რომელსაც აქვს სისტემატური შეცდომა შემცირების მიმართ. ეს შეცდომა უფრო მნიშვნელოვანია, რაც უფრო მეტი პარამეტრი განისაზღვრება რეგრესიის განტოლებაში დაკვირვების მოცემული მოცულობისთვის . თუ პარამეტრების რაოდენობა ზე უდრის
და უახლოვდება დაკვირვების მოცულობას, მაშინ ნარჩენი დისპერსიული იქნება ნულთან ახლოს, ხოლო კორელაციის კოეფიციენტი (ინდექსი) მიუახლოვდება ერთს თუნდაც სუსტი კავშირით ფაქტორებსა და შედეგს შორის. კავშირის სიახლოვის შესაძლო გაზვიადების თავიდან ასაცილებლად, იგი გამოიყენება კორექტირებული მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსი (კოეფიციენტი) .

კორექტირებული მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსი შეიცავს კორექტირებას თავისუფლების გრადუსების რაოდენობისთვის, კერძოდ, კვადრატების ნარჩენი ჯამისთვის.
იყოფა ნარჩენი ვარიაციის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობაზე
და კვადრატული გადახრების ჯამი
– მთლიანობაში თავისუფლების ხარისხების რაოდენობაზე
.

მორგებული მრავალჯერადი განსაზღვრის ინდექსის ფორმულა არის:

სად
– ცვლადების პარამეტრების რაოდენობა ;

- დაკვირვებების რაოდენობა.

Იმიტომ რომ
, მაშინ მორგებული განსაზღვრის ინდექსის მნიშვნელობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

რაც უფრო დიდია მნიშვნელობა
, რაც უფრო ძლიერია განსხვავებები
და
.

მახასიათებლების წრფივი დამოკიდებულებისთვის, კორექტირებული მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი განისაზღვრება იმავე ფორმულით, როგორც მრავალჯერადი კორელაციის ინდექსი, ე.ი. როგორც კვადრატული ფესვი
. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ხაზოვან დამოკიდებულებაში ქვეშ
გულისხმობს ფაქტორების რაოდენობას, რომლებიც შედის რეგრესიის მოდელში და მრუდი კავშირში
- პარამეტრების რაოდენობა და მათი გარდაქმნები ( ,
და ა.შ.), რაც შეიძლება მეტი იყოს ფაქტორების რაოდენობაზე, როგორც ეკონომიკური ცვლადები.

მაგალითი. დავუშვათ, როდის
ხაზოვანი რეგრესიის განტოლებისთვის ოთხი ფაქტორით
და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობის კორექტირების გათვალისწინებით

რაც უფრო დიდია პოპულაციის მოცულობა, რომლისთვისაც გამოითვლება რეგრესია, მით უფრო ნაკლებად განსხვავდება ინდიკატორები
და
. ასე რომ, უკვე
იმავე ღირებულებით
და t ღირებულება
იქნება 0.673.

სტატისტიკური განაცხადის პაკეტებში, მრავალჯერადი რეგრესიის პროცედურა, როგორც წესი, უზრუნველყოფს მრავალჯერადი კორელაციის (განსაზღვრების) დარეგულირებულ კოეფიციენტს (ინდექსი). მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტის მნიშვნელობა გამოიყენება რეგრესიის მოდელის ხარისხის შესაფასებლად. მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის (ინდექსის) დაბალი მნიშვნელობა ნიშნავს, რომ რეგრესიის მოდელი არ შეიცავს მნიშვნელოვან ფაქტორებს - ერთის მხრივ, ხოლო მეორე მხრივ - განხილული კავშირის ფორმა არ ასახავს რეალურ კავშირებს ცვლადებს შორის. მოდელი. მოდელის ხარისხის გასაუმჯობესებლად და მისი პრაქტიკული მნიშვნელობის გასაზრდელად საჭიროა შემდგომი კვლევა.

თუ მრავალჯერადი რეგრესიის მოდელის ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტები მნიშვნელოვანი აღმოჩნდება, ანუ ნამდვილად არის კორელაციური კავშირი შედეგის ცვლადსა და ფაქტორული მოდელის ცვლადებს შორის, მაშინ ამ შემთხვევაში მიზანშეწონილად ითვლება მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის აგება.

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის გამოყენებით ხასიათდება ყველა ფაქტორის ცვლადის კომბინირებული გავლენა შედეგის ცვლადზე მრავალჯერადი რეგრესიის მოდელში.

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი წრფივი მრავალჯერადი რეგრესიის მოდელისთვის n ფაქტორიანი ცვლადებით გამოითვლება სტანდარტიზებული ნაწილობრივი რეგრესიის კოეფიციენტებით და წყვილი კორელაციის კოეფიციენტებით ფორმულის გამოყენებით:

სადაც რ (yxi)– დაწყვილებული (არა ნაწილობრივი) კორელაციის კოეფიციენტი შედეგის ცვლადს შორის ზედა ფაქტორის ცვლადი xi

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი მერყეობს ნულიდან ერთამდე. მისი დახმარებით შეუძლებელია შედეგისა და ფაქტორების ცვლადებს შორის ურთიერთობის მიმართულების დახასიათება. რაც უფრო ახლოს არის მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა ერთთან, მით უფრო ძლიერია კავშირი შედეგსა და დამოუკიდებელ ცვლადებს შორის და პირიქით, რაც უფრო ახლოსაა მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა ნულთან, მით უფრო სუსტია კავშირი შედეგსა და დამოუკიდებელ ცვლადებს შორის. ცვლადები.

მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტი R2მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის კვადრატი ეწოდება:

მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტი ახასიათებს იმ პროცენტს, რომლითაც აგებული რეგრესიული მოდელი ხსნის შედეგის ცვლადის მნიშვნელობების ცვალებადობას მის საშუალო დონესთან მიმართებაში, ანუ აჩვენებს შედეგის ცვლადის მთლიანი ვარიაციის პროპორციას, რომელიც აიხსნება ვარიაციით. რეგრესიის მოდელში შეტანილ ფაქტორულ ცვლადებში.

მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტს ასევე უწოდებენ შედეგის ცვლადის დისპერსიის რაოდენობრივ მახასიათებელს, რომელიც ახსნილია აგებული რეგრესიული მოდელით. რაც უფრო მაღალია მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტის მნიშვნელობა, მით უკეთესად ახასიათებს აგებული რეგრესიული მოდელი ცვლადებს შორის ურთიერთობას.

მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტისთვის, ფორმის უტოლობა ყოველთვის მოქმედებს:

აქედან გამომდინარე, დამატებითი ფაქტორის ცვლადის ჩართვა ხაზოვანი რეგრესიის მოდელში xnარ ამცირებს მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტის მნიშვნელობას.

მრავალჯერადი განსაზღვრის კოეფიციენტი შეიძლება განისაზღვროს არა მხოლოდ როგორც მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტის კვადრატი, არამედ ფორმულის მიხედვით კვადრატების ჯამების დაშლის თეორემის გამოყენებით:

სად ESS (შეცდომა ჯამის კვადრატი)– მრავალჯერადი რეგრესიის მოდელის კვადრატული ნარჩენების ჯამი n დამოუკიდებელი ცვლადით:

TSS (TotalSumSquare)- მრავალჯერადი რეგრესიის მოდელის კვადრატების ჯამი n დამოუკიდებელი ცვლადით:

თუმცა, მრავალჯერადი განსაზღვრის კლასიკურ კოეფიციენტს ყოველთვის არ შეუძლია განსაზღვროს დამატებითი ფაქტორის ცვლადის გავლენა რეგრესიული მოდელის ხარისხზე. ამიტომ, ჩვეულებრივ კოეფიციენტთან ერთად, გამოითვლება მრავალჯერადი განსაზღვრის კორექტირებული კოეფიციენტიც, რომელიც ითვალისწინებს რეგრესიის მოდელში შემავალი ფაქტორების ცვლადების რაოდენობას:

სად ნ– შერჩევის პოპულაციაში დაკვირვებების რაოდენობა;

მრავალგანზომილებიანი კორელაციური ანალიზის ამოცანების განხორციელება

MS EXCEL პაკეტის გამოყენება

მოდით შევხედოთ კორელაციის ანალიზს მაგალითის გამოყენებით.

წარმოების ეფექტურობის ინდიკატორებს შორის ურთიერთკავშირის გასაანალიზებლად გათვალისწინებული იყო 30 მანქანათმშენებლობის საწარმოს საწარმოო და ეკონომიკური საქმიანობის პარამეტრები.

აუცილებელია გაანალიზდეს კავშირი შემდეგ ეკონომიკურ მაჩვენებლებს შორის:

ეფექტური ნიშანი:

Y 1 -შრომის პროდუქტიულობა

ფაქტორების ნიშნები:

X 10 -კაპიტალის პროდუქტიულობა;

X 14 -კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა;

X 15 -სტანდარტიზებული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა;

X 16 -

წყაროს მონაცემები წარმოდგენილია ფაილში კორელი. ანალიზი.xls.

დავუშვათ, რომ განხილული მახასიათებლები პოპულაციაში ექვემდებარება ნორმალურ განაწილებას და მოწოდებული მონაცემები წარმოადგენს ამ პოპულაციის ნიმუშს. ამ პრობლემის გადასაჭრელად ჩვენ გამოვიყენებთ MS EXCEL პროგრამულ პროდუქტს.

1. დააკოპირეთ ფაილი თქვენს საქაღალდეში ან სამუშაო მაგიდაზე კორელი. ანალიზი.xlsდისკიდან U:\General Information\Econometrics;

2. გახსენით ფაილი კორელი. ანალიზი.xlsდა გადადით ფურცელზე ვარჯიში;

3. დაუკავშირეთ ანალიზის პაკეტი Excel-ს:

მენიუ SERVICE – დანამატები – ანალიზის პაკეტი – OK;

SERVICE მენიუ – მონაცემთა ანალიზი – კორელაცია – OK;

4. მიუთითეთ შემდეგი პარამეტრები კორელაციის დიალოგურ ფანჯარაში:

1. შეყვანის ინტერვალი

მიუთითეთ საწყისი ინდიკატორების მასივი შესწავლილი ცვლადის ყველა მნიშვნელობის არჩევით მაუსით ( Y 1, X 10, X 14, X 15, X 16).

2. დაჯგუფება

დააყენეთ გადამრთველი პოზიციაზე სვეტების მიხედვით.

ეტიკეტები პირველ რიგში

შეამოწმეთ ვარიანტი ეტიკეტები პირველ რიგშირომ დაამატოთ ზედა მწკრივი შეყვანის დიაპაზონში, რომელიც შეიცავს ცვლადის სახელებს, მაშინ კორელაციის მატრიცა გამოვა ცვლადის სახელებთან.

გამომავალი ინტერვალი

მოათავსეთ წერტილი პარამეტრზე გამომავალი ინტერვალი, შემდეგ დააწკაპუნეთ მაუსით წარწერის საპირისპირო ხაზში გამომავალი ინტერვალიდა დააწკაპუნეთ ფურცლის G1 უჯრედში ვარჯიში.

მითითებული პარამეტრების დაყენების შემდეგ დააჭირეთ ღილაკს კარგი.

ჩვენ ვიღებთ კორელაციის მატრიცას შემდეგი ფორმით:

ცხრილი 1

	Y1	X10	X14	X15	X16
Y1
X10	-0,02152
X14	0,577299	-0,03604
X15	0,334637	0,153663	0,077981
X16	-0,2042	-0,34832	-0,16676	-0,25017

5. შემდგომი გამოთვლებისთვის აუცილებელია კორელაციური მატრიცის მიყვანა ჩვეულ ფორმამდე ცხრილის ზედა სამკუთხედის შევსებით. გასათვალისწინებელია, რომ წყვილი კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცა სიმეტრიულია, ხოლო კოეფიციენტები r ij = r ji. დააკოპირეთ სასურველი წყვილი კორელაციის კოეფიციენტები შესაბამის უჯრედებში.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ დაწყვილებული კორელაციის კოეფიციენტების 5x5 მატრიცას:

მაგიდა 2

	Y1	X10	X14	X15	X16
Y1		-0,02152	0,577299	0,334637	-0,2042
X10	-0,02152		-0,03604	0,153663	-0,34832
X14	0,577299	-0,03604		0,077981	-0,16676
X15	0,334637	0,153663	0,077981		-0,25017
X16	-0,2042	-0,34832	-0,16676	-0,25017

6. შემდგომში აუცილებელია მიღებული კორელაციის კოეფიციენტების მნიშვნელოვნების შემოწმება, ე.ი. ჰიპოთეზა მაგრამ: r ij = 0.ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ დაკვირვებულ მნიშვნელობებს ტ- სტატისტიკა ყველა კორელაციის კოეფიციენტისთვის ფორმულის მიხედვით:

ამისათვის დააკოპირეთ წინა ცხრილი და ჩასვით იგი თავის ქვეშ ორი ხაზის ჩაღრმავებით. ამოიღეთ ყველა ციფრული მონაცემი ცხრილიდან და მოათავსეთ კურსორი უჯრედში ცვლადების გადაკვეთაზე. Y 1და X 10.მითითებულ უჯრედში ყოფნისას, შეიყვანეთ გამოხატულება ფორმულების ზოლში, რომ დაწეროთ ზემოთ ფორმულა შემდეგნაირად:

=(H3/ROOT(1-H3*H3))*ROOT(49).

ამ გამოთქმის შეყვანისას უნდა დააჭიროთ უჯრედს შესაბამისი კოეფიციენტით, რომლის ღირებულებაც გამოითვლება ტ-სტატისტიკა, ამ შემთხვევაში საკანში H3. მითითებული გამონათქვამის შეყვანის შემდეგ დააჭირეთ ENTER. დაჭიმეთ შეყვანილი ფორმულა შავი ჯვრის გამოყენებით მეზობელ უჯრედებზე, რის შედეგადაც თქვენ უნდა მიიღოთ დაკვირვებული მნიშვნელობების შემდეგი მატრიცა ტ- სტატისტიკა:

ცხრილი 3

ტ ობს.	Y1	X10	X14	X15	X16
Y1
X10	-0,15071
X14	4,949094	-0,25242
X15	2,485769	1,088567	0,547536
X16	-1,4602	-2,60115	-1,18391	-1,80872

ჩვენ გამოვთვალეთ დაკვირვებული მნიშვნელობები ტ-სტატისტიკა მხოლოდ ცხრილის ქვედა სამკუთხედისთვის, ვინაიდან წყვილი კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცა სიმეტრიულია.

7. დაკვირვებული ღირებულებები ტ ტ კრ,ნაპოვნია მნიშვნელოვნების დონე α=0.05 და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა ν =n-2.ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ჩაშენებულ Excel ფუნქციას INSERT– ფუნქცია – სტატისტიკური – STUDAR.

გაანგარიშებისთვის ტ კრმონიშნეთ ცარიელი უჯრედი და გამოიძახეთ ფუნქცია STUDISPOBR,შედი მინდორში ალბათობანომერი არის 0.05 და ველში Თავისუფლების ხარისხები– რიცხვი 49, ვინაიდან სულ გვაქვს 51 დაკვირვება, ამიტომ ν =n-2=51-2=49.ღილაკზე დაჭერით კარგი, მივიღებთ შემდეგ მნიშვნელობას ტ კრ= 2,009574.

მოდით შევადაროთ ჩვენ მიერ გამოთვლილი დაკვირვებული მნიშვნელობები ტ-სტატისტიკა კრიტიკული (ტაბულური) და განსაზღვრავს რომელი კოეფიციენტებია მნიშვნელოვანი და რომელი არა. კოეფიციენტი მნიშვნელოვანია, თუ ის | ტ ობს.|> t კრ.

8. ცხრილში თამამად მონიშნეთ მნიშვნელოვანი კორელაციის კოეფიციენტები:

ცხრილი 4

შესწავლილი ინდიკატორების დაწყვილებული კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცა მნიშვნელოვანი კოეფიციენტების ხაზგასმით (α=0.05-ზე)

	Y1	X10	X14	X15	X16
Y1		-0,02152	0,577299	0,334637	-0,2042
X10	-0,02152		-0,03604	0,153663	-0,34832
X14	0,577299	-0,03604		0,077981	-0,16676
X15	0,334637	0,153663	0,077981		-0,25017
X16	-0,2042	-0,34832	-0,16676	-0,25017

9. მნიშვნელოვანი დაწყვილებული კორელაციის კოეფიციენტებისთვის ჩვენ ავაშენებთ მოცემული სანდოობით γ=0.95ინტერვალის შეფასება rmin< r < r тах Fisher Z-ტრანსფორმის გამოყენებით (იხ. ფორმულები ლექციაში). Z" შეგიძლიათ იხილოთ Excel ფუნქციის გამოყენებით:

INSERT – ფუნქცია – სტატისტიკური – FISCHER,არგუმენტად შეყვანილია შესაბამისი ნიმუშის კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა რ.

10. მნიშვნელობა t γმოდით გამოვთვალოთ Excel ფუნქციის გამოყენებით: INSERT – ფუნქცია – სტატისტიკური – NORMSINV,სადაც მინდორში ალბათობაშეყვანილია მნიშვნელობა 0.95.

ზმინ = ; Z მაქს=

საპირისპირო კონვერტაციის გასაკეთებლად გამოიყენეთ Excel ფუნქცია: INSERT – ფუნქცია – სტატისტიკური – FISHEROBR,სადაც მინდორში იშეყვანილია მნიშვნელობის მქონე უჯრედები Z min, Z max,იმათ. გაანგარიშებისთვის rminშედი ზმინ,და გაანგარიშებისთვის რ მაქსშედი Z მაქს.

ჩვენ წარმოგიდგენთ გამოთვლებს შემდეგი ცხრილის სახით:

ცხრილი 5

შესწავლილი ეკონომიკური მაჩვენებლების დაწყვილებული ზოგადი კორელაციის კოეფიციენტებისთვის ნდობის ინტერვალების გაანგარიშება საიმედოობით γ = 0,95

	რ	Z'	ზმინ	Z მაქს	rmin	რ მაქს
Y1X14	0,577299	0,658403	0,413403	0,903403	0,3913583	0,71795081
Y1X15	0,334637	0,348041	0,103041	0,593041	0,10267786	0,5320792
Х10Х16	-0,34832	-0,36353	-0,60853	-0,11853	-0,5430915	-0,11797801

ამრიგად, ნდობის ინტერვალები საიმედოობასთან γ = 0.95 აღმოჩნდა ყველა მნიშვნელოვანი წყვილი კორელაციის კოეფიციენტისთვის.

მიღებული მონაცემების საფუძველზე შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი დასკვნები:

შესწავლილ ინდიკატორებს შორის გამოიკვეთა მნიშვნელოვანი კორელაციები.

1). შესწავლილ მახასიათებელს შორის გამოვლინდა მნიშვნელოვანი ინვერსიული კორელაცია X 10 -კაპიტალის პროდუქტიულობა და ფაქტორის ატრიბუტი X 16 -არასტანდარტული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა.

2). შრომის პროდუქტიულობას შორის (Y 1)და კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა (X 14)შრომის პროდუქტიულობას შორის (Y 1)და სტანდარტიზებული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა ( X 15) არის პირდაპირი კავშირი.

3). ყველაზე ძლიერი კავშირი არსებობს შესრულების ინდიკატორს შორის შრომის პროდუქტიულობა (Y 1)და ფაქტორის მაჩვენებელი კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა (X 14),და მონიშნული კავშირი პირდაპირია.

ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების გამოთვლა. ნაწილობრივი და წყვილი კორელაციის კოეფიციენტების შედარება.

ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტები ახასიათებს ურთიერთობას ორ შერჩეულ ცვლადს შორის სხვა ინდიკატორების გავლენის გამოკლებით (ანუ ისინი ახასიათებენ „სუფთა“ ურთიერთობას მხოლოდ ამ მახასიათებლებს შორის) და მნიშვნელოვანია ინდიკატორების მთელი ნაკრების ურთიერთქმედების გასაგებად, რადგან შესაძლებელს ხდის ცვლადების ერთმანეთზე გავლენის გაძლიერებისა და შესუსტების მექანიზმების განსაზღვრას.

ნაწილობრივი კოეფიციენტი (k-2)-ცვლადებს შორის, მაგალითად, შორის Y 1და X 10,ტოლია:

,

სად რ იჯ- ელემენტის ალგებრული დანამატი r ijკორელაციის მატრიცა რ, თანაბარი , სად მ იჯარის მატრიციდან მიღებული მატრიცის უმნიშვნელო განმსაზღვრელი რგადაკვეთით მე-რომ ხაზი და j-ე სვეტი.

11. ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების გამოსათვლელად საჭიროა Excel-ში შესაბამისი 4*4 მატრიცების გენერირება.

მაგალითად, R 12-ის ალგებრული დანამატი გამოითვლება ჩვენი კორელაციის მატრიციდან პირველი მწკრივის და მეორე სვეტის წაშლით:

	Y1	X10	X14	X15	X16
Y1		-0,02152	0,577299	0,334637	-0,2042
X10	-0,02152		-0,036036	0,153663	-0,34832
X14	0,577299	-0,03604		0,077981	-0,16676
X15	0,334637	0,153663	0,077981		-0,25017
X16	-0,2042	-0,34832	-0,166761	-0,25017

	0,577299	0,334637	-0,2042
0,577299		0,077981	-0,16676
0,334637	0,077981		-0,25017
-0,2042	-0,166761	-0,25017

ამ მატრიცების დეტერმინანტების საპოვნელად ვიყენებთ Excel ფუნქციას: INSERT - ფუნქცია - მათემატიკური - MOPRED(მიუთითეთ ცვლადების შესაბამისი მატრიცა მასივის სახით). ფუნქციის გამოყენებით ვიღებთ:

-(-0,05438)

0,786557

0,528443

მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, ვიღებთ = - 0,084348

გამოთვლები ანალოგიურად ხორციელდება ყველა სხვა ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტებისთვის:

R 13 =(-1) 1+3 * M 13 = - 0,42585 R 34 =(-1) 3+4 * M 34 = - (-0,1)

R 14 =(-1) 1+4 * M 14 = - 0.225305 R 35 =(-1) 3+5 * M 35 = 0.063223

R 15 =(-1) 1+5 * M 15 = 0,05218 R 45 =(-1) 4+5 * M 45 = - (-0,08965)

R 23 =(-1) 2+3 * M 23 = - (-0.02282) R 33 =(-1) 3+3 * M 33 = 0.702903

R 24 =(-1) 2+4 * M 24 = - 0.05483 R 44 =(-1) 4+4 * M 44 = 0.551944

R 25 =(-1) 2+5 * M 25 = - (-0,18526) R 55 =(-1) 5+5 * M 55 = 0,561651

r 13/245 = 0,572722 r 25/134 = - 0,340055

r 14/235 = 0.341947 r 34/125 = - 0.160548

r 15/234 = - 0,078507 r 35/124 = - 0,100622

r 23/145 = - 0,037443 r 45/123 = - 0,161016

r 24/135 = 0.101525

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგი ფორმის მატრიცას:

ცხრილი 6 შესწავლილი ეკონომიკური მაჩვენებლების ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცა

	Y1	X10	X14	X15	X16
Y1		- 0,084348	0,572722	0,341947	- 0,078507
X10	- 0,084348		- 0,037443	0,101525	- 0,340055
X14	0,572722	- 0,037443		- 0,160548	- 0,100622
X15	0,341947	0,101525	- 0,160548		- 0,161016
X16	- 0,078507	- 0,340055	- 0,100622	- 0,161016

სად ლ- ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტის რიგი, რომელიც ემთხვევა შემთხვევითი ცვლადების ფიქსირებული ცვლადების რაოდენობას (ჩვენს შემთხვევაში ლ=3),

ნ- დაკვირვებების რაოდენობა.

ავაშენოთ დაკვირვებული მნიშვნელობების მატრიცა ტ- სტატისტიკა ყველა კოეფიციენტისთვის r ij:

ცხრილი 7

t- სტატისტიკის დაკვირვებული მნიშვნელობების მატრიცა შესწავლილი ეკონომიკური მაჩვენებლების ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტებისთვის

ტ ობს.	Y1	X10	X14	X15	X16
Y1
X10	-0,574122
X14	4,7385072	-0,254129
X15	2,4679682	0,692152	-1,103200
X16	-0,534109	-2,452522	-0,685933	-1,106502

დაკვირვებული ღირებულებები ტ- სტატისტიკა უნდა შევადაროთ კრიტიკულ მნიშვნელობას ტ კრ,ნაპოვნია მნიშვნელობის დონისთვის α =0.05 და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა v=n-l-2.

ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ჩაშენებულ Excel-ის სტატისტიკურ ფუნქციას STUDISPOBR, α =0.05 და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა v=n-l-2=51-3-2=46.

13. შევადაროთ გამოთვლილი მნიშვნელობები კრიტიკულს და განვსაზღვროთ რომელი კოეფიციენტებია მნიშვნელოვანი. ჩვენ ვიღებთ ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცას შერჩეული მნიშვნელოვანი კოეფიციენტებით:

ცხრილი 8

შესწავლილი ინდიკატორების ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების მატრიცა, რომელიც ხაზს უსვამს მნიშვნელოვან კოეფიციენტებს (α=0,05-ზე)

	Y1	X10	X14	X15	X16
Y1		-0,084348	0,572722	0,341947	-0,078507
X10	-0,084348		-0,037443	0,101525	-0,34006
X14	0,572722	-0,037443		-0,160548	-0,100622
X15	0,341947	0,101525	-0,160548		-0,161016
X16	-0,078507	-0,34006	-0,100622	-0,161016

14. მნიშვნელოვანი ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტებისთვის ჩვენ ავაშენებთ მოცემული სანდოობით γ ინტერვალის შეფასება rmin< r < r тах Fisher Z-ტრანსფორმის გამოყენებით (იხ. ფორმულები ლექციაში). ჩვენ ვიღებთ შემდეგ შედეგს:

ცხრილი 9

შესწავლილი ეკონომიკური მაჩვენებლების ნაწილობრივი ზოგადი კორელაციის კოეფიციენტებისთვის ნდობის ინტერვალების გაანგარიშება საიმედოობით γ = 0,95

	რ	Z'	ზმინ	Z მაქს	rmin	რ მაქს
Y1X14	0,572722	0,651564	0,406564	0,896564	0,385551	0,714621
Y1X15	0,341947	0,356296	0,111296	0,601296	0,110838	0,537971
Х10Х16	-0,340055	-0,354155	-0,599155	-0,109155	-0,536448	-0,108723

15. ავაშენოთ ცხრილი, რომელიც შევადარებთ ნიმუშების დაწყვილებულ და ნაწილობრივ კორელაციის კოეფიციენტებს ყველა ცვლადისთვის.

ცხრილი 10

შესწავლილი ინდიკატორების დაწყვილებული და ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების შედარების ცხრილი მნიშვნელოვანი კოეფიციენტების ხაზგასმით (α = 0,05-ზე)

Შორის ცვლადები	Კორელაციის კოეფიციენტი
ორმაგდება	კერძო
Y1X10	-0,0215248	-0,084348
Y1X14	0,5772995	0,572722
Y1X15	0,3346368	0,341947
Y1X16	-0,2042044	-0,078507
Х10Х14	-0,03604	-0,037443
Х10Х15	0,153663	0,101525
Х10Х16	-0,34832	-0,34006
Х14Х15	0,077981	-0,160548
Х14Х16	-0,166761	-0,100622
Х15Х16	-0,25017	-0,161016

მიღებული მონაცემების საფუძველზე შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი დასკვნები:

1. დაწყვილებული კორელაციის კოეფიციენტების გამოთვლის ეტაპზე მიღებული მნიშვნელოვანი კორელაციები დადასტურდა ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების გამოთვლისას. ამავდროულად, გამოიკვეთა ცვლადების ერთმანეთზე გავლენის შემდეგი მექანიზმები: ყველაზე ახლო კავშირი შეინიშნება შესწავლილ მახასიათებელს შორის. Y 1 -შრომის პროდუქტიულობა და ფაქტორების მახასიათებლები X 14 -კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა და X 15 -სტანდარტიზებული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა (პირდაპირი დამოკიდებულებები) და ფაქტორთა მახასიათებლებს შორის X 10 -კაპიტალის პროდუქტიულობა და X 16 -არასტანდარტული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა (შებრუნებული ურთიერთობა).

2. სხვა ცვლადების გავლენა, რომელიც დამახასიათებელია ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტისთვის (წყვილი კორელაციის კოეფიციენტისთვის განიხილება მხოლოდ ორი ცვლადი სხვა გარე ცვლადების გარეშე), გარკვეულწილად ასუსტებს დადებით კავშირს შრომის პროდუქტიულობას შორის. (Y 1)და კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა (X 14),რადგან კოეფიციენტის კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა r y 1 x 14 / x 10 x 15 x 16 = 0,573 ნაკლებია წყვილის კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობაზე r y 1 x 14 = 0,577.

3. მსგავსი ვითარება შეიმჩნევა უკუკავშირის შესახებ კაპიტალის პროდუქტიულობას შორის ( X 10) და
არასტანდარტული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა ( X 16) - სხვათა გავლენის გამორიცხვა
ცვლადები წყვილის კორელაციის კოეფიციენტის აბსოლუტური მნიშვნელობა (აღებული მოდული) აღემატება აბსოლუტურს
ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა.

4. შრომის პროდუქტიულობას შორის კავშირისთვის ( Y 1) და სტანდარტიზებული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა (X 15)დამახასიათებელია საპირისპირო სიტუაცია: სხვა ცვლადების გავლენა აძლიერებს ამ ურთიერთობას (პარციალური კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობა მეტია წყვილის კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობაზე).

5. წყვილი კორელაციის კოეფიციენტების გამოთვლის ეტაპზე გამოვლენილი ყველაზე ძლიერი კავშირი არის
შრომის პროდუქტიულობას შორის (Y 1)და კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა (X 14)ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების გაანგარიშებისას რჩება უახლოესი და ყველაზე მნიშვნელოვანი. ამ ინდიკატორებს შორის ურთიერთობის მიმართულება, ისევე როგორც დანარჩენი ორი მნიშვნელოვანი კოეფიციენტის შემთხვევაში, იგივეა დაწყვილებული და ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტებისთვის.

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტების გამოთვლა

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტები ემსახურება როგორც ერთი ცვლადის ურთიერთობის საზომს ყველა სხვა ინდიკატორის კომბინირებულ ეფექტთან.

16. გამოვთვალოთ მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტების ქულათა შეფასება. მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი, მაგალითად, 1 ინდიკატორისთვის Y 1გამოითვლება ფორმულით:

სად | რ| - კორელაციის მატრიცის განმსაზღვრელი R;

R ij -ელემენტის ალგებრული დანამატი r ijკორელაციის მატრიცა რ.

ყველა ალგებრული დამატება რ იჯნაპოვნი იქნა ადრე, ნაწილობრივი კორელაციის კოეფიციენტების გამოთვლის ეტაპზე, ამიტომ რჩება მხოლოდ კორელაციის მატრიცის მხოლოდ განმსაზღვრელი გამოთვლა.

კორელაციის მატრიცის განმსაზღვრელი საპოვნელად გამოვიყენებთ ჩაშენებულ Excel მათემატიკურ ფუნქციას. მოპრედი.ვიღებთ |R|= 0.453494.

განმსაზღვრელი მნიშვნელობის ფორმულაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტების მნიშვნელობებს:

= 0,650726

განსაზღვრის მრავალჯერადი კოეფიციენტი მიიღება კორელაციის კოეფიციენტის კვადრატში.

17. შევამოწმოთ მიღებული მრავალჯერადი კორელაციისა და დეტერმინაციის კოეფიციენტების მნიშვნელობა. შემოწმება ხორციელდება გამოყენებით ფ- კრიტერიუმები:

სად კ-განხილული ფაქტორების რაოდენობა (ჩვენს შემთხვევაში k = 5),

P -დაკვირვებების რაოდენობა.

გამოთვლების შემდეგ ვიღებთ შემდეგ ცხრილს:

ცხრილი 11

მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტები და შესწავლილი ინდიკატორების განსაზღვრა მნიშვნელოვანი კოეფიციენტების გამოკვეთით (მნიშვნელოვნების დონეზე α = 0,05)

18. მრავალჯერადი კორელაციისა და განსაზღვრის კოეფიციენტების მნიშვნელოვნების დასადგენად, თქვენ უნდა იპოვოთ კრიტიკული მნიშვნელობა. ფ-განაწილება მოცემული მნიშვნელობის დონისთვის α და მრიცხველის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა v1=k-1და მნიშვნელი v2=n-k.

დადგენისთვის F კრმოდით გამოვიყენოთ ჩაშენებული Excel ფუნქცია: INSERT - ფუნქცია - სტატისტიკური - უფრო სწრაფი,ფუნქციის დიალოგურ ფანჯარაში ალბათობის შეყვანით α = 0.05და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა v1=k-1=5-1=4და v2=n-k=51-5-46.

ვიღებთ F კრ = 2,574033

თუ დაკვირვებული მნიშვნელობა ფ-სტატისტიკა აღემატება მის კრიტიკულ მნიშვნელობას, მაშინ ჰიპოთეზა, რომ შესაბამისი მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი ნულის ტოლია, უარყოფილია.

მაშასადამე, განსახილველ მაგალითში მნიშვნელოვანია მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტები r y 1/ x10 x14 x15 x16, r x 14/ y1 x10 x15 x16, r x 16/ y1 x10 x14 x15. მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტები r x 10/ y1 x14 x15 x16 და r x 15/ y1 x10 x14 x16 უმნიშვნელოა.

ანალიზის შედეგები საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნები:

1. მრავალჯერადი კორელაციის კოეფიციენტი r y 1/ x10 x14 x15 x16 = 0,651 არის მნიშვნელოვანი და აქვს საკმაოდ მაღალი მნიშვნელობა, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ მაჩვენებელი Y 1 -შრომის პროდუქტიულობა მჭიდრო კავშირშია ფაქტორების მახასიათებლების მრავალგანზომილებიან მასივთან X 10 -კაპიტალის პროდუქტიულობა, X 14 -კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა, X 15 -სტანდარტიზებული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა და X 16 -არასტანდარტული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვა. ეს იძლევა შემდგომი რეგრესიული ანალიზის საფუძველს.

2. განსაზღვრის მრავალჯერადი კოეფიციენტი r y 1/ x10 x14 x15 x16 2 = 0.423 აჩვენებს, რომ დისპერსიული წილის 42.3% Y 1 -შრომის პროდუქტიულობა განისაზღვრება ფაქტორების მახასიათებლების ცვლილებებით.

3. ფაქტორების მახასიათებლები X 14 -კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა და X 16 -არასტანდარტიზებული საბრუნავი კაპიტალის ბრუნვას ასევე აქვს მრავალჯერადი კორელაციისა და განსაზღვრის კოეფიციენტების მნიშვნელოვანი მნიშვნელობები, რაც მიუთითებს მათ საკმაოდ ძლიერ კავშირზე განსახილველ მახასიათებლებთან. თუმცა, მიუხედავად იმისა, რომ მრავალი ფაქტორის კოეფიციენტი X 16და არის მნიშვნელოვანი, მაგრამ მისი დისპერსიის წილის მხოლოდ 19.3% განპირობებულია განსახილველ მოდელში შემავალი ცვლადების ცვლილებით და, შესაბამისად, მისი დისპერსიის 80.7% განპირობებულია სხვა ფაქტორების გავლენით, რომლებიც არ შედის მოდელში. .

4. კორელაციური ანალიზის შედეგებმა აჩვენა, რომ ინდიკატორი Y 1 -შრომის პროდუქტიულობა, მჭიდრო კავშირშია ფაქტორების მახასიათებლების მრავალგანზომილებიან მასივთან, საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ სტატისტიკური კვლევის მეორე ეტაპზე - რეგრესიის მოდელის აგებაზე.