Vienādojumu sistēma. Detalizēta teorija ar piemēriem (2020). Vienkāršu lineāru vienādojumu risināšana Vienādojumu veidi un to risināšanas metodes

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Lineārais vienādojums ir algebrisks vienādojums. Šajā vienādojumā to veidojošo polinomu kopējā pakāpe ir vienāda ar vienu.

Lineārie vienādojumi tiek parādīti šādi:

Vispārīgā formā: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

Kanoniskā formā: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Lineārs vienādojums ar vienu mainīgo.

Lineārais vienādojums ar 1 mainīgo tiek reducēts līdz formai:

cirvis+ b=0.

Piemēram:

2x + 7 = 0. Kur a = 2, b = 7;

0,1x - 2,3 = 0. Kur a = 0,1, b = -2,3;

12x + 1/2 = 0. Kur a=12, b=1/2.

Sakņu skaits ir atkarīgs no a Un b:

Kad a= b=0 , kas nozīmē, ka vienādojumam ir neierobežots atrisinājumu skaits, jo .

Kad a=0 , b≠ 0 , kas nozīmē, ka vienādojumam nav sakņu, jo .

Kad a ≠ 0 , kas nozīmē, ka vienādojumam ir tikai viena sakne.

Lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem.

Vienādojums ar mainīgo x ir tipa vienlīdzība A(x)=B(x), Kur A(x) Un B(x)- izteicieni no x. Nomainot komplektu T vērtības x vienādojumā mēs iegūstam patiesu skaitlisko vienādību, ko sauc patiesības komplektsšis vienādojums vai dotā vienādojuma atrisināšana, un visas šādas mainīgās vērtības ir vienādojuma saknes.

2 mainīgo lineārie vienādojumi ir parādīti šādā formā:

Vispārīgā formā: ax + by + c = 0,

Kanoniskā formā: ax + by = -c,

Lineārās funkcijas formā: y = kx + m, Kur .

Šī vienādojuma atrisinājums vai saknes ir šāds mainīgo vērtību pāris (x;y), kas to pārvērš par identitāti. Lineāram vienādojumam ar 2 mainīgajiem ir neierobežots šo risinājumu (sakņu) skaits. Šī vienādojuma ģeometriskais modelis (grafiks) ir taisna līnija y=kx+m.

Ja vienādojumā ir x kvadrātā, tad vienādojumu sauc

Pēc tam, kad esam izpētījuši vienādību jēdzienu, proti, vienu no to veidiem - skaitliskās vienādības, mēs varam pāriet uz citu svarīgu veidu - vienādojumiem. Šī materiāla ietvaros skaidrosim, kas ir vienādojums un tā sakne, formulēsim pamatdefinīcijas un sniegsim dažādus vienādojumu piemērus un to sakņu atrašanu.

Vienādojuma jēdziens

Parasti vienādojuma jēdzienu māca skolas algebras kursa pašā sākumā. Tad tas tiek definēts šādi:

1. definīcija

Vienādojums sauc par vienādību ar nezināmu skaitli, kas jāatrod.

Nezināmos ir pieņemts apzīmēt ar maziem latīņu burtiem, piemēram, t, r, m u.c., bet visbiežāk tiek lietoti x, y, z. Citiem vārdiem sakot, vienādojumu nosaka tā ierakstīšanas forma, tas ir, vienlīdzība būs vienādojums tikai tad, kad tas tiks reducēts līdz noteiktai formai - tajā ir jāsatur burts, vērtība, kas jāatrod.

Sniegsim dažus vienkāršāko vienādojumu piemērus. Tās var būt vienādības formā x = 5, y = 6 utt., kā arī tādas, kas ietver aritmētiskas darbības, piemēram, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Pēc iekavu jēdziena apguves parādās vienādojumu jēdziens ar iekavām. Tie ietver 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 utt. Burts, kas jāatrod, var parādīties vairāk nekā vienu reizi, bet vairākas reizes, piemēram, , piemēram, vienādojumā x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10. Tāpat nezināmie var atrasties ne tikai kreisajā, bet arī labajā vai abās daļās vienlaikus, piemēram, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 vai 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Pēc tam, kad studenti ir iepazinušies ar veselu skaitļu, reālu, racionālu, naturālu skaitļu, kā arī logaritmu, sakņu un pakāpju jēdzieniem, parādās jauni vienādojumi, kas ietver visus šos objektus. Šādu izteicienu piemēriem esam veltījuši atsevišķu rakstu.

7. klases mācību programmā mainīgo lielumu jēdziens parādās pirmo reizi. Tie ir burti, kuriem var būt dažādas nozīmes (sīkāku informāciju skatiet rakstā par ciparu, burtu un mainīgo izteiksmēm). Pamatojoties uz šo koncepciju, mēs varam no jauna definēt vienādojumu:

2. definīcija

Vienādojums ir vienādība, kas ietver mainīgo, kura vērtība ir jāaprēķina.

Tas ir, piemēram, izteiksme x + 3 = 6 x + 7 ir vienādojums ar mainīgo x, un 3 y − 1 + y = 0 ir vienādojums ar mainīgo y.

Vienam vienādojumam var būt vairāk nekā viens mainīgais, bet divi vai vairāk. Tos attiecīgi sauc par vienādojumiem ar diviem, trim mainīgajiem utt. Pierakstīsim definīciju:

3. definīcija

Vienādojumi ar diviem (trīs, četriem vai vairāk) mainīgajiem ir vienādojumi, kas ietver atbilstošu skaitu nezināmo.

Piemēram, formas 3, 7 · x + 0, 6 = 1 vienādojums ir vienādojums ar vienu mainīgo x, un x − z = 5 ir vienādojums ar diviem mainīgajiem x un z. Vienādojuma ar trīs mainīgajiem piemērs varētu būt x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Vienādojuma sakne

Kad mēs runājam par vienādojumu, nekavējoties rodas nepieciešamība definēt tā saknes jēdzienu. Mēģināsim paskaidrot, ko tas nozīmē.

1. piemērs

Mums ir dots noteikts vienādojums, kas ietver vienu mainīgo. Ja nezināmo burtu aizstājam ar skaitli, vienādojums kļūst par skaitlisko vienādību – patiesu vai nepatiesu. Tātad, ja vienādojumā a + 1 = 5 mēs aizstājam burtu ar skaitli 2, tad vienādība kļūs nepatiesa, un, ja 4, tad pareizā vienādība būs 4 + 1 = 5.

Mūs vairāk interesē tieši tās vērtības, ar kurām mainīgais pārvērtīsies par patiesu vienlīdzību. Tos sauc par saknēm vai risinājumiem. Pierakstīsim definīciju.

4. definīcija

Vienādojuma sakne Viņi sauc mainīgā lieluma vērtību, kas pārvērš doto vienādojumu par patiesu vienādību.

Sakni var saukt arī par risinājumu vai otrādi – abi šie jēdzieni nozīmē vienu un to pašu.

2. piemērs

Ņemsim piemēru, lai precizētu šo definīciju. Iepriekš mēs sniedzām vienādojumu a + 1 = 5. Saskaņā ar definīciju sakne šajā gadījumā būs 4, jo, aizstājot burtu, tas dod pareizo skaitlisko vienādību, un divi nebūs risinājums, jo tas atbilst nepareizai vienādībai 2 + 1 = 5.

Cik sakņu var būt vienam vienādojumam? Vai katram vienādojumam ir sakne? Atbildēsim uz šiem jautājumiem.

Pastāv arī vienādojumi, kuriem nav vienas saknes. Piemērs varētu būt 0 x = 5. Mēs varam to aizstāt bezgalīgi daudz dažādu skaitļu, taču neviens no tiem nepārvērsīs to par patiesu vienādību, jo, reizinot ar 0, vienmēr tiek iegūts 0.

Ir arī vienādojumi, kuriem ir vairākas saknes. Viņiem var būt ierobežots vai bezgalīgs sakņu skaits.

3. piemērs

Tātad vienādojumā x - 2 = 4 ir tikai viena sakne - seši, x 2 = 9 divas saknes - trīs un mīnus trīs, x · (x - 1) · (x - 2) = 0 trīs saknes - nulle, viens un divi, vienādojumā x=x ir bezgalīgi daudz sakņu.

Tagad paskaidrosim, kā pareizi uzrakstīt vienādojuma saknes. Ja tādu nav, mēs rakstām: "vienādojumam nav sakņu." Šajā gadījumā var norādīt arī tukšās kopas zīmi ∅. Ja ir saknes, tad tās rakstām atdalot ar komatiem vai norādām kā kopas elementus, iekļaujot cirtainos iekavās. Tātad, ja kādam vienādojumam ir trīs saknes - 2, 1 un 5, tad mēs rakstām - 2, 1, 5 vai (- 2, 1, 5).

Atļauts rakstīt saknes vienkāršu vienādību veidā. Tātad, ja vienādojumā nezināmais ir apzīmēts ar burtu y un saknes ir 2 un 7, tad mēs rakstām y = 2 un y = 7. Dažreiz burtiem tiek pievienoti apakšindeksi, piemēram, x 1 = 3, x 2 = 5. Tādā veidā mēs norādām uz sakņu skaitļiem. Ja vienādojumam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits, tad atbildi rakstām kā skaitlisku intervālu vai izmantojam vispārpieņemtu apzīmējumu: naturālo skaitļu kopu apzīmē ar N, veselus skaitļus - Z, reālos skaitļus - R. Teiksim, ja mums jāuzraksta, ka vienādojuma atrisinājums būs jebkurš vesels skaitlis, tad rakstām, ka x ∈ Z, un, ja jebkurš reāls skaitlis no viena līdz deviņiem, tad y ∈ 1, 9.

Ja vienādojumam ir divas, trīs saknes vai vairāk, tad parasti mēs runājam nevis par saknēm, bet gan par vienādojuma risinājumiem. Formulēsim risinājuma definīciju vienādojumam ar vairākiem mainīgajiem.

5. definīcija

Atrisinājums vienādojumam ar diviem, trim vai vairākiem mainīgajiem ir divas, trīs vai vairākas mainīgo vērtības, kas pārvērš doto vienādojumu par pareizu skaitlisko vienādību.

Paskaidrosim definīciju ar piemēriem.

4. piemērs

Pieņemsim, ka mums ir izteiksme x + y = 7, kas ir vienādojums ar diviem mainīgajiem. Aizstāsim vienu, nevis pirmo, un divus, nevis otros. Mēs iegūsim nepareizu vienādību, kas nozīmē, ka šis vērtību pāris nebūs šī vienādojuma risinājums. Ja ņemam pāri 3 un 4, tad vienādība kļūst patiesa, kas nozīmē, ka esam atraduši risinājumu.

Šādiem vienādojumiem var nebūt sakņu vai to var būt bezgalīgs skaits. Ja mums ir jāpieraksta divas, trīs, četras vai vairāk vērtības, mēs tās rakstām atdalot ar komatiem iekavās. Tas ir, iepriekš minētajā piemērā atbilde izskatīsies šādi (3, 4).

Praksē visbiežāk nākas saskarties ar vienādojumiem, kas satur vienu mainīgo. To risināšanas algoritmu mēs detalizēti apsvērsim vienādojumu risināšanai veltītajā rakstā.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Vienādojums ir matemātiska izteiksme, kas ir vienādība un satur nezināmo. Ja vienādība ir patiesa jebkurai tajā iekļauto nezināmo vērtību pieļaujamajai vērtībai, tad to sauc par identitāti; piemēram: relācija formā (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) attiecas uz visām x vērtībām.

Ja vienādojums, kas satur nezināmu x, attiecas tikai uz noteiktām x vērtībām, nevis uz visām x vērtībām, kā tas ir identitātes gadījumā, tad var būt lietderīgi noteikt tās x vērtības, kurām vienādojums ir spēkā. Šādas x vērtības sauc par vienādojuma saknēm vai atrisinājumiem. Piemēram, skaitlis 5 ir vienādojuma 2x + 7= 17 sakne.

Matemātikas nozarē, ko sauc par vienādojumu teoriju, galvenais mācību priekšmets ir vienādojumu risināšanas metodes. Skolas algebras kursā liela uzmanība tiek pievērsta vienādojumiem.

Vienādojumu izpētes vēsture aizsākās daudzus gadsimtus. Slavenākie matemātiķi, kas veicināja vienādojumu teorijas izstrādi, bija:

Arhimēds (ap 287–212 BC) bija sengrieķu zinātnieks, matemātiķis un mehāniķis. Pētot problēmu, kas tika samazināta līdz kubiskā vienādojumam, Arhimēds atklāja raksturlieluma lomu, ko vēlāk sauca par diskriminantu.

Fransuā Vjets dzīvoja 16. gadsimtā. Viņš sniedza lielu ieguldījumu dažādu matemātikas problēmu izpētē. Jo īpaši viņš ieviesa burtu apzīmējumus vienādojuma koeficientiem un izveidoja saikni starp kvadrātvienādojuma saknēm.

Leonhards Eilers (1707 – 1783) - matemātiķis, mehāniķis, fiziķis un astronoms. Autors Sv. 800 darbi par matemātisko analīzi, diferenciālvienādojumiem, ģeometriju, skaitļu teoriju, aptuveniem aprēķiniem, debesu mehāniku, matemātiku, optiku, ballistiku, kuģu būvi, mūzikas teoriju uc Viņam bija būtiska ietekme uz zinātnes attīstību. Viņš atvasināja formulas (Eulera formulas), kas izsaka mainīgā x trigonometriskās funkcijas, izmantojot eksponenciālu funkciju.

Lagranžs Džozefs Luiss (1736 - 1813), franču matemātiķis un mehāniķis. Viņš ir veicis izcilus pētījumus, tostarp pētījumus par algebru (vienādojuma sakņu simetrisko funkciju, par diferenciālvienādojumiem (singulāro risinājumu teorija, konstantu variācijas metode).

J. Lagrange un A. Vandermonde ir franču matemātiķi. 1771. gadā pirmo reizi tika izmantota vienādojumu sistēmu risināšanas metode (aizvietošanas metode).

Gauss Kārlis Frīdrihs (1777-1855) - vācu matemātiķis. Viņš uzrakstīja grāmatu, kurā izklāstīta apļa dalīšanas vienādojumu teorija (t.i., vienādojumi xn - 1 = 0), kas daudzējādā ziņā bija Galois teorijas prototips. Papildus vispārīgajām šo vienādojumu risināšanas metodēm viņš izveidoja saikni starp tiem un regulāru daudzstūru konstruēšanu. Pirmo reizi kopš sengrieķu zinātniekiem viņš šajā jautājumā spēra būtisku soli uz priekšu, proti: viņš atrada visas tās n vērtības, kurām ar kompasu un lineālu var konstruēt regulāru n-stūri. Es pētīju pievienošanas metodi. Secināju, ka vienādojumu sistēmas var saskaitīt, dalīt un reizināt.

O. I. Somovs - bagātinājis dažādas matemātikas daļas ar nozīmīgiem un daudziem darbiem, tostarp atsevišķu augstākas pakāpes algebrisko vienādojumu teoriju.

Galois Evariste (1811-1832) - franču matemātiķis. Viņa galvenais nopelns ir ideju kopuma formulēšana, pie kuras viņš nonāca saistībā ar Dž.Lagrenža, N.Ābela un citu iesākto algebrisko vienādojumu atrisināmības pētījumu turpināšanu, kā arī radīja algebrisko vienādojumu teoriju. augstākās pakāpes ar vienu nezināmu.

A. V. Pogorelovs (1919 – 1981) - Viņa darbos apvienotas ģeometriskās metodes ar daļēju diferenciālvienādojumu teorijas analītiskām metodēm. Viņa darbiem bija arī būtiska ietekme uz nelineāro diferenciālvienādojumu teoriju.

P. Ruffini - itāļu matemātiķis. Viņš veltīja vairākus darbus, lai pierādītu 5. pakāpes vienādojumu neatrisināmību, sistemātiski izmantojot aizvietojumu kopas noslēgtību.

Neskatoties uz to, ka zinātnieki vienādojumus ir pētījuši jau ilgu laiku, zinātne nezina, kā un kad cilvēkiem vajadzēja izmantot vienādojumus. Ir zināms tikai tas, ka cilvēki ir risinājuši problēmas, kas noved pie vienkāršāko vienādojumu atrisināšanas kopš brīža, kad viņi kļuva par cilvēkiem. Vēl 3 - 4 tūkstošus gadu pirms mūsu ēras. e. Ēģiptieši un babilonieši prata atrisināt vienādojumus. Šo vienādojumu risināšanas noteikums sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā tie tur nokļuvuši.

Senajā Ēģiptē un Babilonijā tika izmantota viltus pozīcijas metode. Pirmās pakāpes vienādojumu ar vienu nezināmo vienmēr var reducēt līdz formai ax + b = c, kurā a, b, c ir veseli skaitļi. Saskaņā ar aritmētisko darbību noteikumiem ax = c - b,

Ja b > c, tad c b ir negatīvs skaitlis. Negatīvie skaitļi nebija zināmi ēģiptiešiem un daudzām citām vēlākām tautām (tos sāka lietot matemātikā vienlīdzīgi ar pozitīviem skaitļiem tikai septiņpadsmitajā gadsimtā). Lai atrisinātu problēmas, kuras mēs tagad risinām ar pirmās pakāpes vienādojumiem, tika izgudrota viltus pozīcijas metode. Ahmesa papirusā ar šo metodi tiek atrisinātas 15 problēmas. Ēģiptiešiem bija īpaša zīme nezināmam skaitlim, kas vēl nesen tika lasīts "kā" un tulkots kā "kaudze" ("kaudze" vai "nezināms vienību skaits". Tagad viņi lasa mazliet mazāk neprecīzi: “jā”. Ahmesa izmantoto risinājumu metodi sauc par vienas nepatiesas pozīcijas metodi. Izmantojot šo metodi, tiek atrisināti vienādojumi formā ax = b. Šī metode ietver katras vienādojuma puses dalīšanu ar a. To izmantoja gan ēģiptieši, gan babilonieši. Dažādas tautas izmantoja divu nepatiesu pozīciju metodi. Arābi mehanizēja šo metodi un ieguva formu, kādā tā tika pārnesta uz Eiropas tautu mācību grāmatām, tostarp Magņitska aritmētiku. Magņitskis risinājumu sauc par “viltus likumu” un savas grāmatas daļā, kurā aprakstīta šī metode, raksta:

Šī daļa ir ļoti viltīga, jo ar to var likt visu. Ne tikai tas, kas ir pilsonībā, bet arī augstākās zinātnes kosmosā, kas ir uzskaitītas debesu sfērā, jo gudrajiem ir vajadzības.

Magņitska dzejoļu saturu īsumā var apkopot šādi: šī aritmētikas daļa ir ļoti viltīga. Ar tās palīdzību jūs varat aprēķināt ne tikai ikdienas praksē nepieciešamo, bet arī atrisināt "augstākos" jautājumus, ar kuriem saskaras "gudrais". Magņitskis izmanto “viltus likumu” tādā formā, kā to piešķīra arābi, nosaucot to par “divu kļūdu aritmētiku” vai “skalu metodi”. Indijas matemātiķi bieži uzdeva problēmas pantā. Lotus problēma:

Virs klusā ezera, pusmēru virs ūdens, bija redzama lotosa krāsa. Viņš uzauga viens, un vējš kā vilnis nolieca viņu uz sāniem, un vairs ne

Zied virs ūdens. Zvejnieka acs viņu atrada divus metrus no vietas, kur viņš uzauga. Cik dziļš šeit ir ezera ūdens? Es tev uzdošu jautājumu.

Vienādojumu veidi

Lineārie vienādojumi

Lineārie vienādojumi ir vienādojumi šādā formā: ax + b = 0, kur a un b ir dažas konstantes. Ja a nav vienāds ar nulli, tad vienādojumam ir viena sakne: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).

Piemēram: atrisiniet lineāro vienādojumu: 4x + 12 = 0.

Risinājums: Tā kā a = 4 un b = 12, tad x = - 12: 4; x = - 3.

Pārbaudiet: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Tā kā 0 = 0, tad -3 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde. x = -3

Ja a ir vienāds ar nulli un b ir vienāds ar nulli, tad vienādojuma ax + b = 0 sakne ir jebkurš skaitlis.

Piemēram:

0 = 0. Tā kā 0 ir vienāds ar 0, tad vienādojuma 0x + 0 = 0 sakne ir jebkurš skaitlis.

Ja a ir vienāds ar nulli un b nav vienāds ar nulli, tad vienādojumam ax + b = 0 nav sakņu.

Piemēram:

0 = 6. Tā kā 0 nav vienāds ar 6, tad 0x – 6 = 0 nav sakņu.

Lineāro vienādojumu sistēmas.

Lineāro vienādojumu sistēma ir sistēma, kurā visi vienādojumi ir lineāri.

Atrisināt sistēmu nozīmē atrast visus tās risinājumus.

Pirms lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas varat noteikt tās risinājumu skaitu.

Dota vienādojumu sistēma: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

Ja a1 dalīts ar a2 nav vienāds ar b1 dalīts ar b2, tad sistēmai ir viens unikāls risinājums.

Ja a1 dalīts ar a2 ir vienāds ar b1 dalīts ar b2, bet vienāds ar c1 dalīts ar c2, tad sistēmai nav risinājumu.

Ja a1 dalīts ar a2 ir vienāds ar b1 dalīts ar b2 un vienāds ar c1 dalīts ar c2, tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Vienādojumu sistēmu, kurai ir vismaz viens risinājums, sauc par vienlaicīgu.

Konsekventu sistēmu sauc par noteiktu, ja tai ir ierobežots atrisinājumu skaits, un par nenoteiktu, ja tās risinājumu kopa ir bezgalīga.

Sistēmu, kurai nav viena risinājuma, sauc par nekonsekventu vai pretrunīgu.

Lineāro vienādojumu risināšanas metodes

Ir vairāki veidi, kā atrisināt lineāros vienādojumus:

1) Atlases metode. Tas ir vienkāršākais veids. Tas sastāv no visu derīgo nezināmā vērtību atlasīšanas, uzskaitot.

Piemēram:

Atrisiniet vienādojumu.

Lai x = 1. Tad

4 = 6. Tā kā 4 nav vienāds ar 6, tad mūsu pieņēmums, ka x = 1, bija nepareizs.

Pieņemsim, ka x = 2.

6 = 6. Tā kā 6 ir vienāds ar 6, tad mūsu pieņēmums, ka x = 2, bija pareizs.

Atbilde: x = 2.

2) Vienkāršošanas metode

Šī metode sastāv no visu terminu, kas satur nezināmo, pārnešanas uz kreiso pusi un zināmos pa labi ar pretējo zīmi, apvienojot līdzīgus un dala abas vienādojuma puses ar nezināmā koeficientu.

Piemēram:

Atrisiniet vienādojumu.

5x – 4 = 11 + 2x;

5x – 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Atbilde. x = 5.

3) Grafiskā metode.

Tas sastāv no dotā vienādojuma funkciju grafika izveidošanas. Tā kā lineārajā vienādojumā y = 0, grafiks būs paralēls ordinātai. Šī vienādojuma risinājums būs grafikas krustpunkts ar x asi.

Piemēram:

Atrisiniet vienādojumu.

Pieņemsim, ka y = 7. Tad y = 2x + 3.

Uzzīmēsim abu vienādojumu funkcijas:

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes

Septītajā klasē viņi mācās trīs veidus, kā atrisināt vienādojumu sistēmas:

1) Aizvietošanas metode.

Šī metode sastāv no viena nezināmā izteikšanas ar citu vienā no vienādojumiem. Iegūtā izteiksme tiek aizstāta ar citu vienādojumu, kas pēc tam pārvēršas par vienādojumu ar vienu nezināmo, un pēc tam tas tiek atrisināts. Rezultātā iegūtā šī nezināmā vērtība tiek aizstāta ar jebkuru sākotnējās sistēmas vienādojumu un tiek atrasta otrā nezināmā vērtība.

Piemēram.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y = 4 - 3x.

Aizstāsim iegūto izteiksmi ar citu vienādojumu:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x – 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Aizstāsim iegūto vērtību vienādojumā 3x + y = 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y = 4–3; y = 1.

Pārbaude.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

Atbilde: x = 1; y = 1.

2) pievienošanas metode.

Šī metode ir tāda, ka, ja dotā sistēma sastāv no vienādojumiem, kurus, saskaitot pēc vārda, veido vienādojumu ar vienu nezināmo, tad, atrisinot šo vienādojumu, mēs iegūsim viena nezināmā vērtību. Rezultātā iegūtā šī nezināmā vērtība tiek aizstāta ar jebkuru sākotnējās sistēmas vienādojumu un tiek atrasta otrā nezināmā vērtība.

Piemēram:

Atrisiniet vienādojumu sistēmu.

/3у – 2х = 5,

\5x – 3y = 4.

Atrisināsim iegūto vienādojumu.

3x = 9; : (3) x = 3.

Aizstāsim iegūto vērtību vienādojumā 3y – 2x = 5.

3у – 2 3 = 5;

3u = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Tātad x = 3; y = 3 2/3.

Pārbaude.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;

Atbilde. x = 3; y = 3 2/3

3) Grafiskā metode.

Šī metode ir balstīta uz to, ka vienādojumi tiek attēloti vienā koordinātu sistēmā. Ja vienādojuma grafiki krustojas, tad šīs sistēmas risinājums ir krustošanās punkta koordinātas. Ja vienādojuma grafiki ir paralēlas taisnes, tad šai sistēmai nav atrisinājumu. Ja vienādojumu grafiki saplūst vienā taisnē, tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Piemēram.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu.

18x + 3g - 1 = 8.

2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y = 5 - 2x; 3 g = 9–18 x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju y = 2x - 5 un y = 3 - 6x grafikus.

Funkciju y = 2x - 5 un y = 3 - 6x grafiki krustojas punktā A (1; -3).

Tāpēc šīs vienādojumu sistēmas risinājums būs x = 1 un y = -3.

Pārbaude.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Atbilde. x = 1; y = -3.

Secinājums

Pamatojoties uz visu iepriekš minēto, varam secināt, ka vienādojumi mūsdienu pasaulē ir nepieciešami ne tikai praktisku problēmu risināšanai, bet arī kā zinātnisks instruments. Tāpēc tik daudzi zinātnieki ir pētījuši šo jautājumu un turpina to pētīt.

Algebrisko vienādojumu veidi un to risināšanas metodes

Studentiem, kurus interesē matemātika, risinot augstāku pakāpju algebriskos vienādojumus, efektīva metode, kā ātri atrast saknes, dalot ar atlikumu ar binomiju x -  vai ar ax + b, ir Hornera shēma.

Apsveriet Hornera shēmu.

Apzīmēsim nepilno koeficientu, dalot P(x) ar x –  caur

Q (x) = b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + ... + b n -1, un atlikums ir b n.

Tā kā P(x) = Q (x)(x–) + b n, tad vienādība ir spēkā

a 0 x n + а 1 x n -1 + … + а n = (b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + … + b n -1) (х– ) + b n

Atvērsim labajā pusē esošās iekavas un salīdzināsim koeficientus vienādām x pakāpēm kreisajā un labajā pusē. Iegūstam, ka a 0 = b 0 un pie 1  k  n saglabājas attiecības a k = b k -  b k -1. No tā izriet, ka b 0 = a 0 un b k = a k +  b k -1, 1  k  n.

Polinoma Q (x) un atlikuma b n koeficientu aprēķinu rakstām tabulas veidā:

a 0

a 1

a 2

A n-1

A n

b 0 = a 0

b 1 = a 1 +  b 0

b 2 = a 2 +  b 1

b n-1 = a n-1 +  b n-2

b n = a n +  b n-1

1. piemērs. Sadaliet polinomu 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 ar x + 1.

Risinājums. Mēs izmantojam Hornera shēmu.

Sadalot 2x 4 - 7x 3 - 3x 2 + 5x - 1 ar x + 1, mēs iegūstam 2x 3 - 9x 2 + 6x - 1

Atbilde: 2 x 3 - 9x 2 + 6x - 1

2. piemērs. Aprēķiniet P(3), kur P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

Risinājums. Izmantojot Bezout teorēmu un Hornera shēmu, mēs iegūstam:

Atbilde: P(3) = 535

Vingrinājums

Izmantojot Hornera diagrammu, sadaliet polinomu

4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2 uz x + 2;

2) Sadaliet polinomu

2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1 uz x + 1;

3) Atrodiet polinoma P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 vērtību, ja x = 7.

1.1. Vienādojumu racionālu sakņu atrašana ar veseliem skaitļiem

Metode algebriskā vienādojuma ar veselu skaitļu koeficientiem racionālu sakņu atrašanai ir dota sekojošā teorēmā.

Teorēma: Ja vienādojumam ar veselu skaitļu koeficientiem ir racionālas saknes, tad tās ir brīvā vārda dalītāja dalījums ar vadošā koeficienta dalītāju.

Pierādījums: a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n = 0

Lai x = p/ q ir racionāla sakne, q, p ir pirmskaitļi.

Aizvietojot vienādojumā daļu p/q un atbrīvojoties no saucēja, mēs iegūstam

a 0 r n + a 1 p n -1 q + … + a n -1 pq n -1 + a n q n = 0 (1)

Pārrakstīsim (1) divos veidos:

a n q n = р(– а 0 р n -1 – а 1 р n -2 q – … – а n -1 q n -1) (2)

a 0 r n = q (– а 1 р n -1 –… – а n -1 рq n -2 – а n q n -1) (3)

No vienādības (2) izriet, ka a n q n dalās ar p, un kopš q n un p ir pirmskaitļi, tad a n dalās ar p. Līdzīgi no vienādības (3) izriet, ka a 0 dalās ar q. Teorēma ir pierādīta.

Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumu 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0.

Risinājums. Vienādojumam nav veselu skaitļu sakņu, mēs atrodam vienādojuma racionālās saknes. Lai nereducējamā daļa p /q ir vienādojuma sakne, tad p atrodams starp brīvā termina dalītājiem, t.i. starp skaitļiem  1 un q starp vadošā koeficienta pozitīvajiem dalītājiem: 1; 2.

Tie. vienādojuma racionālās saknes jāmeklē starp skaitļiem  1,  1/2, apzīmē P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1)  0, P 3 (–1)  0,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 ir vienādojuma sakne.

2x 3 - 7x 2 + 5x - 1 = 2x 3 - x 2 - 6 x 2 + 3x + 2x - 1 = 0.

Mēs iegūstam: x 2 (2x – 1) – 3x (2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1) (x 2 – 3x + 1) = 0.

Pielīdzinot otro koeficientu nullei un atrisinot vienādojumu, mēs iegūstam

Atbilde:
,

Vingrinājumi

Atrisiniet vienādojumus:

6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;

6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;

3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. Apgrieztie vienādojumi un atrisināšanas metodes

Definīcija. Vienādojumu ar veselu skaitļu pakāpēm attiecībā pret nezināmo sauc par atkārtotu, ja tā koeficienti, vienādā attālumā no kreisās puses galiem, ir vienādi viens ar otru, t.i. formas vienādojums

A x n + bx n -1 + cx n -2 + … + cx 2 + bx + a = 0

Nepāra pakāpes abpusējs vienādojums

A x 2 n +1 + bx 2 n + cx 2 n -1 + … + cx 2 + bx + a = 0

vienmēr ir sakne x = – 1. Tāpēc tas ir līdzvērtīgs vienādojuma x + 1 = 0 un  x 2 n +  x 2 n -1 + … +  x +  = 0 apvienošanai. Pēdējais vienādojums ir pāra pakāpes reciproks vienādojums. Tādējādi jebkuras pakāpes abpusēju vienādojumu atrisināšana tiek reducēta līdz pāra pakāpes abpusēja vienādojuma atrisināšanai.

Kā to atrisināt? Dots pāra pakāpes abpusējs vienādojums

A x 2 n + bx 2 n -1 + … + dx n +1 + ex n + dx n -1 + … + bx + a = 0

Ņemiet vērā, ka x = 0 nav vienādojuma sakne. Tad mēs sadalām vienādojumu ar x n, mēs iegūstam

A x n + bx n -1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1- n + аx -n = 0

Kreisās puses terminus sagrupējam pa pāriem

A( x n + x - n ) + b (x n -1 + x -(n -1) + … + d(x + x -1 ) + e = 0

Mēs veicam nomaiņu x + x -1 = y. Pēc izteiksmju aizstāšanas x 2 + x -2 = y 2 – 2;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 vienādojumā, kuram mēs iegūstam vienādojumu plkstАу n + Ar n -1 + Cy n -2 + … + Ey + D = 0.

Lai atrisinātu šo vienādojumu, jāatrisina vairāki kvadrātvienādojumi formā x + x -1 = y k, kur k = 1, 2, ... n. Tādējādi mēs iegūstam sākotnējā vienādojuma saknes.

Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumu x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0.

Risinājums. x = – 1 ir vienādojuma sakne. Pielietosim Hornera shēmu.

Mūsu vienādojumam būs šāda forma:

(x + 1) (x 6 + x 5 - 6x 4 - 7x 3 - 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 - 6x 4 - 7x 3 - 6x 2 + x + 1 = 0 | : x 3  0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

Grupējot, iegūstam: .

Ieviesīsim aizstājēju:
;
;
.

Mēs saņemam salīdzinoši plkst vienādojums: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y 3 + y 2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1) (y 2 - 9); y 1 = -1, y 2,3 =  3.

Vienādojumu risināšana
,
,
,

mēs iegūstam saknes:
,
,
,

Atbilde: x 1 = -1,
,

Vingrinājumi

Atrisiniet vienādojumus.

2x 5 + 5x 4 - 13x 3 - 13x 2 + 5x + 2 = 0;

2x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 2 = 0;

15x 5 + 34x 4 + 15x 3 - 15x 2 - 34x - 15 = 0.

1.3. Mainīgo aizstāšanas metode vienādojumu risināšanai

Mainīgā aizstāšanas metode ir visizplatītākā metode. Mainīgu izmaiņu veikšanas māksla ir redzēt, kuras izmaiņas ir visjēdzīgākās un ātrāk novedīs pie panākumiem.

Ja tiek dots vienādojums

F(f(x)) = 0, (1)

tad, aizstājot nezināmo y = f (x), vispirms tiek reducēts līdz vienādojumam

F(y) = 0, (2)

un pēc tam pēc visu (2) vienādojuma atrisinājumu atrašanas y 1, y 2, ..., y n, ... tiek reducēts uz vienādojumu kopas f (x) = y 1, f (x) = y 2 atrisināšanu. ,..., f (x) = y 2,...

Galvenie veidi, kā ieviest mainīgo aizstāšanas metodi, ir:

izmantojot daļskaitļa pamatīpašību;

izceļot binoma kvadrātu;

pāreja uz vienādojumu sistēmu;

atvēršanas kronšteini pa pāriem;

atverot iekavas pa pāriem un sadalot abas vienādojuma puses;

vienādojuma pakāpes samazināšana;

dubultā nomaiņa.

1.3.1. Vienādojuma jaudas samazināšana

Atrisiniet vienādojumu (x 2 + x + 2) (x 2 + x + 3) = 6 (3)

Risinājums. Apzīmēsim x 2 + x + 2 = y, tad pieņemsim y (y + 1) = 6, risinot pēdējo, iegūstam y 1 = 2, y 2 = -3. Šis vienādojums (3) ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai x 2 + x + 2 = 2

x 2 + x + 2 = -3

Atrisinot pirmo, mēs iegūstam x 1 = 0, x 2 = -1. Atrisinot otro, mēs iegūstam
,

Atbilde: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. Formas (x + a)(x +) ceturtās pakāpes vienādojumsb )(x + c )(x + d ) = m , kur a + b = c + d, vai a + c = b + d, vai a + d = b + c.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu (x - 1) (x - 7) (x -4) (x + 2) = 40

Risinājums. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, reizinot šos iekavu pārus, iegūstam vienādojumu (x 2 - 5x - 14) (x 2 - 5x + 4) = 40

Ieviesīsim aizstāšanu: x 2 - 5x – 14 = y, iegūstam vienādojumu y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0. y 1 = -20, y 2 = 2. Atgriežoties pie sākotnējā mainīgā, mēs atrisinām vienādojumu kopu:

X 2 - 5x - 14 = - 20 x 1 = 2; x 2 = 3

x 2 - 5x - 14 = 2 x 3,4 =

Atbilde: x 1 = 2; x 2 = 3 x 3,4 =

1.3.3. Formas (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ex 2 vienādojums,

Kur ab = cd, vai ac = bd, vai ad = bc. Atveriet iekavas pa pāriem un sadaliet abas daļas ar x 2  0.

Piemērs. (x - 1) (x - 2) (x - 8) (x - 4) = 4x 2

Risinājums. Pirmajā un trešajā un otrajā un ceturtajā iekavās esošo skaitļu reizinājums ir vienāds, t.i. – 8 (- 1) = (- 2) (- 4). Sareizināsim norādītos iekavu pārus un uzrakstīsim vienādojumu (x 2 - 9x + 8) (x 2 - 6x + 8) = 4x 2.

Tā kā x = 0 nav vienādojuma sakne, mēs sadalām abas vienādojuma puses ar x 2  0, mēs iegūstam:
, nomaiņa:
, sākotnējais vienādojums būs šāds:t(t+3) =4, t 2 + 3 t=4, t 2 + 3 t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Atgriezīsimies pie sākotnējā mainīgā:

x 2 - 10x + 8 = 0

x 2 - 5x + 8 = 0

Atrisinām pirmo vienādojumu, iegūstam x 1,2 = 5 

Otrajam vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: x 1,2 = 5 

1.3.4. Ceturtā tipa vienādojums (ax 2 + b 1 x + c) (a x 2 + b 2 x + c) = A x 2

Vienādojums (ass 2 + b 1 x+ c)(a x 2+ b 2 x + c) = A x 2, kur c  0, A  2
, kas pēc nezināmā aizstāšanas
var pārrakstīt kā kvadrātu un to var viegli atrisināt.

Piemērs. (x 2 + x+ 2) (x 2 + 2x + 2) = 2x 2

Risinājums. Ir viegli redzēt, ka x = 0 nav šī vienādojuma sakne, dalot šo vienādojumu ar x 2 , mēs iegūstam vienādojumu

nomaiņa
, iegūstam vienādojumu (y+1)(y+2) = 2, to atrisinot, mums ir saknes y 1 = 0; plkst.2 = - 3, tāpēc sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai

risinot, iegūstam x 1 = -1; x 2 = -2.

Atbilde: x 1 = -1; x 2 = -2

1.3.5. Formas vienādojums: a (cx 2 + p 1 x + q) 2 + b (cx 2 + p 2 x + q) 2 = Ax 2

Vienādojums a(cx 2 + lpp 1 x + q) 2 + b(cx 2 + lpp 2 x + q) 2 = Ax 2 kur a, b, c, q, A ir tādi q 0, A 0, c 0, a 0, b 0 nav saknes x = 0, tāpēc vienādojumu dalot ar x 2 , mēs iegūstam līdzvērtīgu vienādojumu
, kas pēc nomaiņas
var pārrakstīt kā kvadrātvienādojumu, ko var viegli atrisināt. + 1)( x 2 – 14x + 15 = 0

x 2 – 7 x + 15 = 0

Atbilde: