Паралельні струми. Сила Ампера. Взаємодія паралельних провідників із струмом. Робота сил магнітного поля з переміщення витка зі струмом. Закон Ампера для провідника довільної форми

Сила Ампера це та сила, з якою магнітне поле діє на провідник, зі струмом поміщений у це поле. Величину цієї сили можна визначити за допомогою закону Ампера. У цьому законі визначається нескінченно мала сила для нескінченно малої ділянки провідника. Що дозволяє застосовувати цей закон для провідників різної форми.

Формула 1 - Закон Ампера

Bіндукція магнітного поля, в якому знаходиться провідник зі струмом

Iсила струму у провіднику

dlнескінченно малий елемент довжини провідника зі струмом

альфакут між індукцією зовнішнього магнітного поля та напрямом струму у провіднику

Напрямок сили Ампера знаходиться за правилом лівої руки. Формулювання цього правила звучить так. Коли ліва рука розташована таким чином, що лінії магнітної індукції зовнішнього поля входять у долоню, а чотири витягнуті пальці вказують напрямок руху струму в провіднику, при цьому відігнутий під прямим кутом великий палець буде вказувати напрямок сили, яка діє на елемент провідника.

Малюнок 1 - правило лівої руки

Деякі проблеми виникають при використанні правила лівої руки, якщо кут між індукцією поля і струмом маленький. Важко визначити, де має бути відкрита долоня. Тому для простоти застосування цього правила можна долоню розташовувати так, щоб до неї входив не сам вектор магнітної індукції, а його модуль.

З закону Ампера випливає, що сила Ампера дорівнюватиме нулю, якщо кут між лінією магнітної індукції поля і струмом дорівнюватиме нулю. Тобто провідник розташовуватиметься вздовж такої лінії. І сила Ампера матиме максимально можливе значення для цієї системи, якщо кут складатиме 90 градусів. Тобто струм буде перпендикулярний лінії магнітної індукції.

За допомогою закону Ампера можна знайти силу, що діє в системі двох провідників. Уявімо два нескінченно довгих провідника, які знаходяться на відстані один від одного. За цими провідниками протікають струми. Силу, що діє з боку поля, що створюється провідником зі струмом номер один на провідник номер два, можна представити у вигляді.

Формула 2 – Сила Ампера для двох паралельних провідників.

Сила, що діє з боку провідника номер один на другий провідник, матиме такий самий вигляд. При цьому якщо струми у провідниках течуть в одному напрямку, то провіднику притягатимуть. Якщо ж у протилежних, то вони відштовхуватимуться. Виникає деяке замішання, адже струми течуть в одному напрямку, оскільки вони можуть притягатися. Адже однойменні полюси та заряди завжди відштовхувалися. Або Ампер вирішив, що не варто наслідувати решту і придумав щось нове.

Насправді Ампер нічого не вигадував, оскільки якщо замислитися поля, створювані паралельними провідниками, спрямовані зустрічно один одному. І чому вони притягуються, питання не виникає. Щоб визначити, в який бік спрямоване поле, яке створюється провідником, можна скористатися правилом правого гвинта.

Малюнок 2 — Паралельні провідники зі струмом

Використовуючи паралельні провідники та вираз сили Ампера, для них можна визначити одиницю в один Ампер. Якщо по нескінченно довгим паралельним провідникам, що знаходяться на відстані один метр, течуть однакові струми силою в одні ампер, то сили взаємодії між ними становитимуть у 2*10-7 Ньютона, на кожен метр довжини. Використовуючи цю залежність, можна висловити чому дорівнюватиме один Ампер.

Дане відео розповідає про те, як постійне магнітне поле, створене підковоподібним магнітом, впливає на провідник зі струмом. Роль провідника зі струмом у разі виконує алюмінієвий циліндр. Цей циліндр лежить на мідних шинах, якими до нього підводиться електричний струм. Сила, що впливає на провідник зі струмом, що знаходиться в магнітному полі, називається силою Ампера. Напрямок дії сили Ампера визначається за допомогою правила лівої руки.

Сила Ампера

На провідник зі струмом, що знаходиться в магнітному полі, діє сила, що дорівнює

F = I·L·B·sina

I - сила струму у провіднику;

B – модуль вектора індукції магнітного поля;

L - Довжина провідника, що знаходиться в магнітному полі;

a - кут між вектором магнітного поля і напрямком струму в провіднику.

Силу, що діє на провідник зі струмом у магнітному полі, називають силою Ампера.

Максимальна сила Ампера дорівнює:

Їй відповідає a=900.

Напрямок сили Ампера визначається за правилом лівої руки: якщо ліву руку розташувати так, щоб перпендикулярна складова вектора магнітної індукції входила в долоню, а чотири витягнуті пальці були направлені у напрямку струму, то відігнутий на 90 градусів великий палець покаже напрямок сили, що діє на відріз провідника зі струмом, тобто сили Ампера.

У ході експерименту ми спостерігали силу, яку не можна пояснити у межах електростатики. Коли у двох паралельних провідниках струм йде лише одному напрямку, з-поміж них існує сила тяжіння. Коли струми йдуть у протилежних напрямках, дроти відштовхуються один від одного.

Фактичне значення цієї сили, що діє між паралельними струмами, і її залежність від відстані між проводами можуть бути виміряні за допомогою простого пристрою у вигляді ваг. Зважаючи на відсутність таких, приймімо на віру, результати дослідів які показують, що ця сила обернено пропорційна відстані між осями проводів: F (1/r).

Оскільки ця сила повинна бути обумовлена ​​якимось впливом, що поширюється від одного дроту до іншого, то така циліндрична геометрія створить силу, що залежить назад пропорційно першого ступеня відстані. Згадаємо, що електростатичне поле поширюється від зарядженого дроту теж із залежністю від відстані виду 1/r.

Виходячи з дослідів видно також, що сила взаємодії між проводами залежить від твору струмів, що протікають по них. З симетрії можна зробити висновок, що якщо ця сила пропорційна I1, вона повинна бути пропорційна і I2. Те, що ця сила прямо пропорційна кожному з струмів, є просто експериментальним фактом.

Додаючи коефіцієнт пропорційності, можемо тепер записати формулу для сили взаємодії двох паралельних проводів: F (l/r, F (I1 I2); отже,

Коефіцієнт пропорційності міститиме пов'язаний з ним множник 2(, не в саму константу.

Взаємодія між двома паралельними проводами виявляється у вигляді сили на одиницю довжини. Чим довше дроти тим більше сила:

Відстань між осями проводів F/l вимірюється в метрах. Сила на 1 метр довжини вимірюється в ньютонах на метр і струми I1 I2 – в амперах.

У шкільному курсі фізики першим дається визначення кулону через ампер, не даючи при цьому визначення амперу, а потім приймається на віру значення константи, що з'являється в законі Кулона.

Тільки тепер можна перейти будь-кому, щоб розглянути визначення ампера.

Коли вважається, що рівняння для F/l визначає ампер. Константа називається магнітною постійною. Вона аналогічна константі 0 - постійної електричної. Однак у присвоєння значень цим двом константам є операційна відмінність. Ми можемо вибирати для будь-якої однієї з них будь-яке довільне значення. Але потім друга константа має визначатися на досвіді, оскільки кулон та ампер пов'язані між собою.

Виходячи тепер із вище описаної формули значення ампера можна висловити словами: якщо взаємодія на 1м довжини двох довгих паралельних проводів, що знаходяться на відстані 1м один від одного, дорівнює 2 * 10-7 Н, то струм у кожному дроті дорівнює 1А.

У випадку, коли проводи, що взаємодіють, знаходяться перпендикулярно один до одного, є лише дуже невелика область впливу, де проводи проходять близько один до одного, і тому можна очікувати, що буде мала і сила взаємодії між проводами. Насправді ця сила дорівнює нулю. Оскільки силу можна вважати позитивною, коли струми паралельні, і негативною, коли струми антипаралельні, цілком правдоподібно, що ця сила повинна дорівнювати нулю, коли дроти перпендикулярні, бо це нульове значення лежить посередині між позитивними та негативними значеннями.

Одиниця виміру в СІ - 1 Ампер (А) = 1 Кулон / секунду.

Для вимірювання сили струму використовують спеціальний прилад – амперметр (для приладів, призначених для вимірювання малих струмів, також використовуються назви міліамперметр, мікроамперметр, гальванометр). Його включають у розрив ланцюга там, де потрібно виміряти силу струму. Основні методи вимірювання сили струму: магнітоелектричний, електромагнітний та непрямий (шляхом вимірювання вольтметром напруги на відомому опорі).

Магнітне поле має на рамку зі струмом орієнтуючу дію. Отже, крутний момент, що випробовується рамкою, є результатом дії сил на окремі її елементи. Узагальнюючи результати дослідження дії магнітного поля на різні провідники зі струмом. Ампер встановив, що сила d F, з якою магнітне поле діє елемент провідника d lзі струмом, що знаходиться в магнітному полі, дорівнює де d l-Вектор, по модулю рівний d lі збігається у напрямку зі струмом, У- Вектор магнітної індукції.

Напрямок вектора d Fможе бути знайдено, згідно (111.1), за загальними правилами векторного твору, звідки слідує правило лівої руки:якщо долоню лівої руки розташувати так, щоб до неї входив вектор У, а чотири витягнуті пальці розташувати у напрямку струму у провіднику, то відігнутий великий палець покаже напрям сили, що діє струм.

Модуль сили Ампера (див. (111.1)) обчислюється за формулою

де a-кут між векторами d lі У.

Закон Ампера застосовується визначення сили взаємодії двох струмів. Розглянемо два нескінченних прямолінійних паралельних струму I 1 та I 2; (напрями струмів вказані на рис. 167), відстань між якими дорівнює R.Кожен із провідників створює магнітне поле, яке діє за законом Ампера на інший провідник зі струмом. Розглянемо, з якою силою діє магнітне поле струму I 1 на елемент d lдругого провідника зі струмом I 2 . Струм I 1 створює навколо себе магнітне поле, лінії магнітної індукції якого є концентричними колами. Напрямок вектора B 1 визначається правилом правого гвинта, його модуль за формулою (110.5) дорівнює

Напрямок сили d F 1 , з якою поле B 1 діє ділянку d lдругого струму, визначається за правилом лівої руки та вказано на малюнку. Модуль сили згідно (111.2) з урахуванням того, що кут aміж елементами струму I 2 та вектором B 1 прямий, дорівнює

підставляючи значення для У 1 , отримаємо Розмірковуючи аналогічно, можна показати, що сапа d F 2 з якою магнітне поле струму I 2 діє елемент d lпершого провідника зі струмом I 1 спрямована в протилежний бік і по модулю дорівнює

Порівняння виразів (111.3) та (111.4) показує, що

тобто. два паралельні струми однакового напрямку притягуються один до одного зсилою

(111.5)

Якщо струми мають протилежні напрямки,те, використовуючи правило лівої руки, можна показати, що між ними діє сила відштовхування,визначається формулою (111.5).

Закон Біо-Савара-Лапласа.

Електричне поле діє як на нерухомі, так і на електричні заряди, що рухаються в ньому. Найважливішою особливістю магнітного поля є те, що воно діє тільки на рухоміу цьому полі є електричні заряди. Досвід показує, що характер впливу магнітного поля на струм різний залежно від форми провідника, яким тече струм, від розташування провідника і від напрямку струму. Отже, щоб охарактеризувати магнітне поле, треба розглянути його на певний струм. Закон Біо - Савара - Лапласадля провідника зі струмом I, елемент d lякого створює в деякій точці А(рис. 164) індукцію поля d B, записується у вигляді де d l- Вектор, по модулю рівний довжині d lелемента провідника і збігається у напрямку зі струмом, r-радіус-вектор, зроблений з елемента d lпровідника в крапку Аполя, r- модуль радіуса-вектора r. Напрямок d Bперпендикулярно d lі r, тобто перпендикулярно до площини, в якій вони лежать, і збігається з дотичної до лінії магнітної індукції. Цей напрямок може бути знайдений за правилом знаходження ліній магнітної індукції (правилу правого гвинта): напрямок обертання головки гвинта дає напрямок d Bякщо поступальний рух гвинта відповідає напрямку струму в елементі.

Модуль вектор d Bвизначається виразом (110.2) де a - кут між векторами d lі r.

Для магнітного поля, як і для електричного, справедливо принцип суперпозиції:магнітна індукція результуючого поля, створюваного декількома струмами або зарядами, що рухаються, дорівнює векторній сумі магнітних індукцій полів, що складаються кожним струмом або зарядом, що рухається окремо:

Розрахунок характеристик магнітного поля ( Уі Н) за наведеними формулами у загальному випадку складний. Однак якщо розподіл струму має певну симетрію, то застосування закону Біо – Савара – Лапласа спільно з принципом суперпозиції дозволяє просто розрахувати конкретні поля. Розглянемо два приклади.

1. Магнітне поле прямого струму- струму, що тече по тонкому прямому дроту нескінченної довжини (рис. 165). У довільній точці А,віддаленої від осі провідника на відстань R,вектори d Bвід усіх елементів струму мають однаковий напрямок, перпендикулярне до площини креслення («до вас»). Тому складання векторів d Bможна замінити складанням їх модулів. Як постійне інтегрування виберемо кут a(кут між векторами d lі r), Виразивши через нього всі інші величини. З рис. 165 випливає, що

(радіус дуги CDвнаслідок малості d lдорівнює r, і кут FDCз цієї причини можна вважати прямим). Підставивши ці вирази (110.2), отримаємо, що магнітна індукція, створювана одним елементом провідника, дорівнює

(110.4)

Оскільки кут aдля всіх елементів прямого струму змінюється в межах від 0 до p, то згідно (110.3) та (110.4),

Отже, магнітна індукція поля прямого струму

(110.5)

2. Магнітне поле у ​​центрі кругового провідника зі струмом(Рис. 166). Як випливає з малюнка, всі елементи кругового провідника зі струмом утворюють у центрі магнітні поля однакового напрямку - вздовж нормалі від витка. Тому складання векторів d Bможна замінити складанням їх модулів. Оскільки всі елементи провідника перпендикулярні радіусу-вектору (sin a=1) і відстань всіх елементів провідника до центру кругового струму однакова і дорівнює R,то, згідно (110.2),

Отже, магнітна індукція поля в центрі кругового провідника зі струмом

Сила взаємодії паралельних струмів. Закон Ампера

Якщо взяти два провідники з електричними струмами, то вони будуть притягуватись один до одного, якщо струми в них спрямовані однаково і відштовхуватись, якщо струми течуть у протилежних напрямках. Сила взаємодії, яка припадає на одиницю довжини провідника, якщо вони паралельні, може бути виражена як:

де $I_1(,I)_2$ -- струми, що течуть у провідниках, $b$- відстань між провідниками, $в\ системі\ СІ\ (\mu )_0=4\pi \cdot (10)^(- 7) \ frac (Гн) (м) \ (Генрі \ на метр) $ магнітна постійна.

Закон взаємодії струмів було встановлено 1820 р. Ампером. З закону Ампера встановлюють одиниці сили струму в системах СІ і СГСМ. Так як ампер дорівнює силі постійного струму, який при перебігу по двох паралельних нескінченно довгим прямолінійним провідникам нескінченно малого кругового перерізу, що знаходяться на відстані 1м один від одного у вакуумі, викликає силу взаємодії цих провідників рівну $2\cdot (10)^(-7)Н $ за кожен метр довжини.

Закон Ампера для провідника довільної форми

Якщо провідник зі струмом знаходиться в магнітному полі, то на кожен носій струму діє рівна сила:

де $ \ overrightarrow (v) $ - швидкість теплового руху зарядів, $ \ overrightarrow (u) $ - швидкість впорядкованого їх руху. Від заряду, ця дія передається провіднику, яким заряд переміщається. Значить, на провідник із струмом, що знаходиться в магнітному, поле діє сила.

Виберемо елемент провідника із струмом довжини $dl$. Знайдемо силу ($\overrightarrow(dF)$) з якою діє магнітне поле виділений елемент. Середній вираз (2) по носіях струму, які знаходяться в елементі:

де $\overrightarrow(B)$ -- вектор магнітної індукції у точці розміщення елемента $dl$. Якщо n - концентрація носіїв струму в одиниці об'єму, S - площа поперечного перерізу дроту в даному місці, тоді N - кількість зарядів, що рухаються в елементі $dl$, рівне:

Помножимо (3) на кількість носіїв струму, отримаємо:

Знаючи, що:

де $\overrightarrow(j)$- вектор щільності струму, а $Sdl=dV$, можна записати:

З (7) випливає, що сила, що діє на одиницю обсягу провідника дорівнює, густина сили ($f$):

Формулу (7) можна записати у вигляді:

де $\overrightarrow(j)Sd\overrightarrow(l)=Id\overrightarrow(l).$

Формула (9) Закон Ампера для провідника довільної форми. Модуль сили Ампера (9) очевидно дорівнює:

де $\alpha $ -- кут між векторами $\overrightarrow(dl)$ і $\overrightarrow(B)$. Сила Ампера спрямована перпендикулярно до площини, в якій лежать вектори $\overrightarrow(dl)$ і $\overrightarrow(B)$. Силу, яка діє на провід кінцевої довжини, можна знайти з (10) шляхом інтегрування по довжині провідника:

Сили, що діють на провідники зі струмами, називають силами Ампера.

Напрямок сили Ампера визначається правилом лівої руки (Ліву руку треба розташувати так, щоб лінії поля входили в долоню, чотири пальці були направлені по струму, тоді відігнутий на 900 великий палець вкаже напрям сили Ампера).

Приклад 1

Прямий провідник масою m довжиною l підвішений горизонтально на двох легких нитках в однорідному магнітному полі, вектор індукції цього поля має горизонтальний напрямок перпендикулярне провіднику (рис.1). Знайдіть силу струму та його напрямок, який розірве одну з ниток підвісу. Індукція поля B. Кожна нитка розірветься під час навантаження N.

Для розв'язання задачі зобразимо сили, що діють на провідник (рис.2). Будемо вважати провідник однорідним, тоді вважатимуться, що точка докладання всіх сил - середина провідника. Для того щоб сила Ампера була спрямована вниз, струм повинен текти в напрямку з точки А в точку В (рис.2) (На рис.1 магнітне поле зображено, спрямованим на нас, перпендикулярно площині малюнка).

У такому разі рівняння рівноваги сил, прикладених до провідника зі струмом, запишемо як:

\[\overrightarrow(mg)+\overrightarrow(F_A)+2\overrightarrow(N)=0\ \left(1.1\right),\]

де $ \ overrightarrow (mg) $ - сила тяжіння, $ \ overrightarrow (F_A) $ - сила Ампера, $ \ overrightarrow (N) $ - реакція нитки (їх дві).

Спроектуємо (1.1) на вісь X, отримаємо:

Модуль сили Ампера для прямого кінцевого провідника зі струмом дорівнює:

де $ \ alpha = 0 $ - Кут між векторами магнітної індукції і напрямом течії струму.

Підставимо (1.3) у (1.2) виразимо силу струму, отримаємо:

Відповідь: $ I = \ frac (2N-mg) (Bl). $ З точки А і точку В.

Приклад 2

Завдання: По провіднику у вигляді половини кільця радіусу R тече постійний струм сили I. Провідник знаходиться в однорідному магнітному полі, індукція якого дорівнює B, поле перпендикулярно площині, в якій лежить провідник. Знайдіть силу Ампера. Провіди, які підводять струм поза полем.

Нехай провідник знаходиться у площині малюнка (рис.3), тоді лінії поля перпендикулярні до площини малюнка (від нас). Виділимо на півкільці нескінченно малий елемент струму dl.

На елемент струму діє сила Ампера:

\\ \left(2.1\right).\]

Напрямок сили визначається за правилом лівої руки. Виберемо координатні осі (рис.3). Тоді елемент сили можна записати через його проекції ($(dF)_x,(dF)_y$) як:

де $ \ overrightarrow (i) $ і $ \ overrightarrow (j) $ - одиничні орти. Тоді силу, що діє на провідник, знайдемо як інтеграл за довжиною дроту L:

\[\overrightarrow(F)=\int\limits_L(d\overrightarrow(F)=)\overrightarrow(i)\int\limits_L(dF_x)+\overrightarrow(j)\int\limits_L((dF)_y)\ left(2.3\right).\]

Через симетрію інтеграл $\int\limits_L(dF_x)=0.$ Тоді

\[\overrightarrow(F)=\overrightarrow(j)\int\limits_L((dF)_y)\left(2.4\right).\]

Розглянувши рис.3 запишемо, що:

\[(dF)_y=dFcos\alpha \left(2.5\right),\]

де за законом Ампера для елемента струму запишемо, що

За умовою $\overrightarrow(dl)\bot \overrightarrow(B)$. Виразимо довжину дуги dl через радіус R кут $\alpha$, отримаємо:

\[(dF)_y=IBRd\alpha cos\alpha \ \left(2.8\right).\]

Проведемо інтегрування (2.4) при $-\frac(\pi )(2)\le \alpha \le \frac(\pi )(2)\ $підставивши (2.8), отримаємо:

\[\overrightarrow(F)=\overrightarrow(j)\int\limits^(\frac(\pi )(2))_(-\frac(\pi )(2))(IBRcos\alpha d\alpha ) =\overrightarrow(j)IBR\int\limits^(\frac(\pi )(2))_(-\frac(\pi )(2))(cos\alpha d\alpha )=2IBR\overrightarrow(j ).\]

Відповідь: $\overrightarrow(F)=2IBR\overrightarrow(j).$

Розглянемо провід, що з магнітному полі і яким тече струм (рис.12.6).

На кожен носій струму (електрон) діє сила Лоренца. Визначимо силу, що діє елемент дроту довжини d l

Останній вираз має назву закону Ампера.

Модуль сили Ампера обчислюється за такою формулою:

.

Сила Ампера спрямована перпендикулярно до площини, в якій лежать вектори dl і B.

Застосуємо закон Ампера для обчислення сили взаємодії двох паралельних нескінченно довгих прямих струмів, що знаходяться у вакуумі паралельних (рис.12.7).

Відстань між провідниками – b. Припустимо, що провідник I 1 створює магнітне поле індукцією

За законом Ампера на провідник I 2 з боку магнітного поля діє сила

, враховуючи, що (sinα =1)

Отже, на одиницю довжини (d l=1) провідника I 2 діє сила

.

Напрямок сили Ампера визначають за правилом лівої руки: якщо долоню лівої руки розташувати так, щоб до неї входили лінії магнітної індукції, а чотири витягнуті пальці розташувати у напрямку електричного струму у провіднику, то відставлений великий палець вкаже напрям сили, що діє на провідник з боку поля .

12.4. Циркуляція вектор магнітної індукції (закон повного струму). Слідство.

Магнітне поле на відміну електростатичного - непотенційне поле: циркуляція вектора У магнітної індукції поля вздовж замкнутого контуру не дорівнює нулю і залежить від вибору контуру. Таке поле у ​​векторному аналізі називають вихровим полем.

Розглянемо як приклад магнітне поле замкнутого контуру L довільної форми, що охоплює нескінченно довгий прямолінійний провідник зі струмом l, що у вакуумі (рис.12.8).

Лінії магнітної індукції цього поля є кола, площини яких перпендикулярні провіднику, а центри лежать на його осі (на рис. 12.8 ці лінії зображені пунктиром). У точці А контуру L вектор магнітної індукції поля цього струму перпендикулярний радіусу-вектору .

З малюнка видно, що

де - Довжина проекції вектора dl на напрямок вектора У. Водночас малий відрізок dl 1дотичної до кола радіусу rможна замінити дугою кола: , де dφ - центральний кут, під яким видно елемент dlконтуру Lіз центру кола.

Тоді отримуємо, що циркуляція вектора індукції

В усіх точках лінії вектор магнітної індукції дорівнює

інтегруючи вздовж всього замкнутого контуру, та враховуючи, що кут змінюється від нуля до 2π, знайдемо циркуляцію

З формули можна зробити такі висновки:

1. Магнітне поле прямолінійного струму – вихрове поле і не консервативно, тому що в ньому циркуляція вектора Увздовж лінії магнітної індукції не дорівнює нулю;

2. циркуляція вектора Умагнітної індукції замкнутого контуру, що охоплює поле прямолінійного струму у вакуумі однакова вздовж усіх ліній магнітної індукції і дорівнює добутку постійної магнітної на силу струму.

Якщо магнітне поле утворене кількома провідниками зі струмом, то циркуляція результуючого поля

Даний вираз називається теорема про повний струм.