Гранные геометрические тела. Какие геометрические тела бывают Геометрическое тело состоящее из 6 граней

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО. МНОГОГРАННИК

Определение : Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется геометрическим телом.

Граница – поверхность геометрического тела.

Пространственная область – внутренняя область геометрического тела.

Определение : Многогранником называется геометрическое тело, поверхностью которого является конечное число многоугольников, каждая сторона любого многоугольника является стороной двух и только двух граней, не лежащих в одной плоскости. Многоугольники – грани многогранника.

Вершины и стороны граней – вершины и ребра многогранника.

Многогранники классифицируются по числу граней: тетраэдр (четырехгранник), пентаэдр (пятигранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник).

Определение : Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Определение : Многогранник, две грани которого многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям, а остальные грани – параллелограммы, называется призмой. Многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям – основания призмы. Параллелограммы – боковые грани призмы.

Стороны параллелограммов, соединяющие соответствующие вершины оснований призмы – боковые ребра призмы.

А 1 А 2 …А п В 1 В 2 …В п – п-угольная призма;

А 1 А 2 …А п; В 1 В 2 …В п – основания п-угольной призмы;

А 1 В 1 В 2 А 2 ; …; А 1 В 1 В п А п – боковые грани п-угольной призмы;

А 1 В 1 ; А 2 В 2 ; … ; А п В п – боковые ребра п-угольной призмы.

Свойства :

Основания призмы равны и параллельны.

Боковые ребра призмы равны и параллельны.

Определение : Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям (Рис.1.), в противном случае призма называется наклонной (Рис. 2.).

Рис.1. Рис. 2. Рис.3.

Призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной, … в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.

Определение : Перпендикуляр, проведенный из какой- либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (Рис. 3.).

В 1 М ^ А 1 А 2 А 3 ; О 1 О 2 ^ А 1 А 2 А 3 ;

В 1 М = О 1 О 2 = h – высота призмы.

Замечание : Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Определение : Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Замечание : Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Справка :

1. Правильный четырехугольник – квадрат;

2. Правильный треугольник – равносторонний треугольник;

3. Правильный шестиугольник.

Определение : Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом (Рис. 1.).

Определение : Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям (Рис. 2.).

Свойства :

1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов его линейных размеров. d 2 = а 2 + b 2 + с 2
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Упражнения :

1. Определить диагонали прямоугольного параллелепипеда по его измерениям:

a) 8, 9, 12;

B) 12, 16, 21.

Справка : Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 3 см, а одна из диагоналей равна 4 см. Найти большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ, образует с плоскостью основания угол 60°.
2. В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 144 см 2 , а высота равна 14 см. Определить диагональ этой призмы.

ПОВЕРХНОСТЬ ПРИЗМЫ

Определение : Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Определение : Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Определение : Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее ребрам.

Теорема : Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.

Дано :

АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – призма;

А А 1 = l;

l ^ КLMNP;

Р ^ = Р(КLMNP)

Доказать :

Следствие : Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

; ;

Упражнения :

Дана наклонная треугольная призма, две боковые грани которой взаимно перпендикулярны, их общее ребро равно 9,6 см и находится на расстоянии 4,8 см и 14 см от двух других рёбер. Найти площадь боковой поверхности призмы.

6. В прямоугольном параллелепипеде его измерения относятся как 1:2:3 (3:7:8). Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 352 см 2 . Найти его измерения.

7. Найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 8 дм и 12 дм и образуют угол 30°, а боковое ребро равно 6 дм.

8. Площадь полной поверхности куба равна 36 см 2 . Определить его диагональ.

9. Найти ребро куба, если площадь его полной поверхности равна 24 м 2 .

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 см и 17 см, одна из диагоналей основания равна 21 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Определить площадь полной поверхности параллелепипеда.

15. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 8 см, угол между ними равен 60°. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 220 см 2 . Определить площадь полной поверхности параллелепипеда, площадь меньшего диагонального сечения.

16. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см. Площадь полной поверхности призмы равна 144 см 2 . Определить сторону основания и боковое ребро призмы.

ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМОВ

1. Два равных многогранника имеют один и тот же объём, независимо от их расположения в пространстве.
2. Объём многогранника, представляющего собой сумму двух смежных многогранников, равен сумме объёмов этих многогранников.
3. Если из двух многогранников первый целиком содержится внутри второго, то объём первого многогранника не превосходит объёма второго многогранника.

Определение : Многогранники, имеющие равные объёмы, называются равновеликими.

Определение : За единицу объёма принимается объём куба, ребро которого равно единице длины.

ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

Теорема : Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров.

– линейные размеры (измерения)

Теорема : Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Дано :

ABCA 1 B 1 C 1 – прямая призма;

– основание призмы;

; ;

ОБЪЁМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ

Теорема : Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призмы на её боковое ребро.

Дано :

- наклонная призма;

- боковое ребро;

- перпендикулярное сечение;

Доказать :

Следствие : Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Упражнения :

1. В наклонном параллелепипеде стороны перпендикулярного сечения, равные 3 см и 4 см, образуют между собой угол 30°. Боковое ребро параллелепипеда равно 1 дм. Найти объём параллелепипеда.

2. Основанием призмы является правильный треугольник со стороной 4 см. Боковое ребро призмы равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти объём призмы и площадь перпендикулярного сечения призмы.

3. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм, один из углов которого равен 30°. Площадь основания параллелепипеда равна 16 дм 2 . Площади боковых граней параллелепипеда равны 24 дм 2 и 48 дм 2 . Найти объём параллелепипеда.

4. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 7:24, а площадь диагонального сечения равна 50 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

5. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной а и углом 60 ° . Сечение, проведённое через большую диагональ основания и вершину тупого угла другого основания, есть прямоугольный треугольник. Найти площадь полной поверхности призмы.

6. Площади боковых граней прямой треугольной призмы равны 425 см 2 , 250 см 2 , 225 см 2 , а площадь основания призмы равна 100 см 2 . Найти объём призмы.

7. Дан наклонный параллелепипед, основание которого – квадрат со стороной 5 дм. Найти объём параллелепипеда, если одно из боковых рёбер образует с каждой прилежащей стороной основания угол 60 ° и равно 1 м.

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 1 м, а основание 1 м 20 см. Боковое ребро призмы равно высоте основания, опущенной на его боковую сторону. Найти площадь полной поверхности призмы.

Рис. 1. Рис. 2.

Упражнения :

1. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 26 см. Найти высоту пирамиды.
2. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см и диагональю 6 см. Высота пирамиды равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. Найти боковые рёбра пирамиды.
3. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания равна 8 см. Найти боковое ребро пирамиды.
4. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6 см и высота равна 9 см. Боковые рёбра пирамиды равны между собой и каждое содержит 13 см. Найти высоту пирамиды.
5. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боковой стороной 10 см. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные двугранные углы по 45° . Найти высоту пирамиды.

Точка О одинаково удалена от вершин треугольника АВС, следовательно, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, есть середина гипотенузы. Точка О - середина гипотенузы.

.

; .

; ; ; ; .

; , следовательно, .

- равносторонний треугольник, значит, .

; .

по трём сторонам, следовательно, .

;

; ;

;

.

Ответ : .

Замечание : Площадь боковой поверхности неправильнойусечённой пирамиды вычисляется по определению, каксумма площадей её боковых граней.

Упражнения :

ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ

Теорема : Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на её высоту.

Дано :

SABC - пирамида;

S(ABC)= S осн.

SО ^ АВС; SО = h.

Доказать :

9. ОБЪЁМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

Дано :

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - усечённая пирамида;

S(ABCD) = S н.о. ; S (A 1 B 1 C 1 D 1) = S в.о.

h - высота усечённой пирамиды;

Определить: V ус.пир. - ?

.

Упражнения :

1. Диагональ квадратного основания правильной пирамиды равна 6 см, высота пирамиды равна 15 см. Найти её объём.
2. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 14 дм, сторона её основания равна 2 дм. Найти объём пирамиды.
3. Основанием пирамиды является ромб со стороной 15 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Большая диагональ основания равна 24 см. Найти объём пирамиды.
4. Найти объём усечённой пирамиды, если площади её оснований равны 98 см 2 и 32 см 2 , а высота соответствующей полной пирамиды равна 14 см.
5. В пирамиде через середину высоты проведена плоскость, параллельная её основанию. Определить объём образовавшейся усечённой пирамиды, если высота данной пирамиды равна 18 см, а площадь её основания равна 400 см 2 .
6. Найти объём треугольной пирамиды, боковые рёбра которой попарно перпендикулярны и равны 10 см, 15 см, 9 см.
7. В треугольной усечённой пирамиде высота равна 10 см, стороны нижнего основания равны 27 м, 29 м, 52 м, а периметр верхнего основания равен 72 м. Найти объём усечённой пирамиды.
8. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 40 см и 10 см. Площадь её полной поверхности равна 3400 см 2 . Найти объём усечённой пирамиды.

ЦИЛИНДР. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА.

Определение : Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется прямым круговым цилиндром.

Определение : Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

AB – ось симметрии, высота цилиндра;AB = H ;

AD – радиус основания цилиндра;AD = R .

Определение : Расстояние между плоскостями оснований является высотой прямого кругового цилиндра.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Два круга являются основаниями прямого кругового цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований, называется образующей прямого кругового цилиндра.

Определение : Прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания цилиндра, а другая – его высоте, называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Определение : Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Сечения цилиндра.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

В частности, прямоугольником является осевое сечение. Осевое сечение - сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг.

Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси – овал.

Теорема : Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S бок. = 2πRH , где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

Определение : Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

S осн. = πR 2 S бок. = 2πRH S полн. = 2πRH + 2πR 2 .

Рассмотрим п -угольную прямую призму. При п→∞ периметр многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к длине окружности основания цилиндра, площадь многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к площади круга, являющегося основанием цилиндра. Объём п -угольной прямой призмы будет стремиться к объёму прямого кругового цилиндра.

Определение : Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра.

Определение : Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы.

Упражнения :

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найти: высоту, радиус основания, площадь основания цилиндра.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 см 2 , а площадь основания - 5 см 2 . Найти высоту цилиндра.

3. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а площадь его осевого сечения равна 72 см 2 . Найти объём цилиндра.

Квадрат со стороной, равной а, вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне. Ось удалена от квадрата на расстояние, равное стороне квадрата. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

11. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны

12. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №1.

14. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №2.

Рис. №1. Рис. №2.

КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ КОНУСА.

Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка.

Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Круговым конусом называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .

Конус называется прямым , если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Определение : Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, называется прямым круговым конусом.

Определение : Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Определение : Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор круга, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса.

Сечения конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Определение : Осевым сечением конуса называется сечение, проходящее через ось конуса.

Вывод : Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S бок. = πRL, где R – радиус основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S полн. = πRL + πR 2 , где R – радиус основания, L – длина образующей.

Объём кругового конуса равен V = 1/3 πR 2 H, где R – радиус основания, Н – высота конуса.

Определение : Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

Определение : Пирамидой, описанной около конуса , называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Упражнения :

1. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 120 ° и боковой стороной в 20 см вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти высоту конуса, если площадь его боковой поверхности равна 427,2 см 2 и образующая – 17 см.

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вращается вокруг оси, параллельной гипотенузе и проходящей через вершину прямого угла. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Определение : Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между его основанием и сечением, параллельным основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Определение : Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям, называется прямым круговым усечённым конусом.

Определение : Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями.

Определение : Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями.

Задача : Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны: r = 5, R = 7, Н = Ö60. Найдите образующую усеченного конуса.

Определение : Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Задача : Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус верхнего основания, высота и образующая: R = 6, Н = 4, L = 5.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S бок = π(R + r)L ,

где R – радиус нижнего основания, r L – длина образующей.

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S полн. = πR 2 + πr 2 + π(R + r)L ,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, L – длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2) ,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

Упражнения :

Из истории возникновения.

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра» - мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш. В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

Определение : Геометрическое тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра, называется шаром.

Определение : Радиусом сферы (шара) называется отрезок, соединяющий центр сферы (шара) с любой её точкой.

Определение : Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две любые её точки.

Определение : Диаметром сферы называется хорда, проходящая через её центр.

Сечение шара плоскостью.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение, проходящее через центр шара, называется диаметральным сечением (большим кругом).

Касательная плоскость к сфере .

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богатства. Практическая деятельность человека служила основой открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Многогранники

В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения.

Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: "Призма есть телесная фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же -параллелограммы". Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин "плоскость" не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как "прямая" означает у него и отрезок прямой.

Термин "призма" греческого происхождения и буквально означает "отпиленное" . Термин "параллелепипедальное тело" встречается впервые у Евклида и означает дословно "параллеле-плоскостное тело". Греческое слово "кубос" употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово "куб".

Поверхность составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будет называть многогранной поверхностью или многогранником. Виды многогранников: параллелепипед, призма, пирамида.

Призма

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов, называется призмой. Многоугольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Отрезки называются боковыми ребрами призмы.

Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой.

Если в основании прямой призмы лежат правильные многоугольники, то призма называется правильной.

Параллелепипед

Если в основании призмы лежит параллелограмм, то призма называется параллелепипедом. Параллелепипеды бывают наклонные, прямые и прямоугольные.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, высоту и ширину. У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Каждая грань параллелепипеда – прямоугольник. Противоположенные грани параллелепипеда равны. Среди всех параллелепипедов особую роль играет куб. Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны равны. Все его грани – квадраты.

Пирамида

Важным и интересным семейством многогранников является пирамида. У пирамиды различают основание и боковые грани. Боковые грани – треугольники, сходящиеся в одной вершине, а основание – многоугольник, противолежащий этой вершине. В основании может лежать многоугольник с любым количеством сторон. Пирамиду называют по числу сторон ее основания: треугольная пирамида, четырехугольная пирамида, шестиугольная пирамида… Простейшей пирамидой и даже простейшем многогранником является треугольная пирамида. Все ее грани – треугольники, и каждая из них может считаться основанием.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Многогранник, гранями которого является многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, и четырехугольников - боковые грани называют усеченной пирамидой.

Правильные многогранники

Правильным называют многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Виды правильных многоугольников

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников.

Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех правильных пятиугольников.

Круглые тела

Круглые тела имеют круглую форму. Также могут состоять из нескольких окружностей, круглые тела образуются с помощью вращения квадратной плоскости. В таких фигурах также есть свои особенности, например, существует сложные круглые тела. Примеры круглых тел: цилиндр, конус, сфера и шар.

Цилиндр

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами, называют цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхностью называются образующими цилиндра, прямая 001 - осью цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями.

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра.

Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью цилиндра.

Длина образующей называется высотой, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Конус

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей, называется конусом. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Усеченный конус

Если взять секущую плоскость, и провести ей по конусу, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет из себя конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок соединяющие их центры, - высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая конус, называется ее боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называется образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Шар и сфера

Сферой называют поверхность, состоящая из все точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а донное расстояние радиусом сферы.

Тело, ограниченное сферой называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Разделы: Технология

Цели урока:

• закрепить знания о геометрических телах, умения и навыки по построению чертежей многогранников;
• развивать пространственные представления и пространственное мышление;
• формировать графическую культуру.

Тип урока: комбинированный.

Оснащение урока: интерактивная доска MIMIO, мультимедийный проектор, компьютеры, проект mimo для интерактивной доски, мультимедийная презентация, программа «Компас-3D LT».

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

1. Приветствие;

2. Проверка явки учащихся;

3. Проверка готовности к уроку;

4. Заполнение классного журнала (и электронного)

II. Повторение раннее изученного материала

На интерактивной доске открыт проект mimo

Лист 1. На уроках математики вы изучали геометрические тела. Несколько тел вы видите на экране. Давайте вспомним их названия. Учащиеся дают названия геометрическим телам, если есть затруднения – помогаю. (Рис. 1).

1 – четырехугольная призма
2 – усеченный конус
3 – треугольная призма
4 – цилиндр
5 – шестиугольная призма
6 – конус
7 – куб
8 – усеченная шестиугольная пирамида

Лист 4 . Задание 2. Даны геометрические тела и названия геометрических тел. Вызываем ученика к доске и вместе с ним перетаскиваем многогранники и тела вращения под названия, а затем перетаскиваем названия геометрических тел (рис. 2).

Делаем вывод, что все тела делятся на многогранники и тела вращения.

Включаем презентацию «Геометрические тела» (Приложение ). Презентация содержит 17 слайдов. Можно использовать презентацию на нескольких уроках, она содержит дополнительный материал (слайды 14-17). Со слайда 8 есть гиперссылка на Презентацию 2 (развертки куба). Презентация 2 содержит 1 слайд, на котором изображены 11 разверток куба (они являются ссылками на видеоролики). На уроке использована интерактивная доска MIMIO, а также учащиеся работают на компьютерах (выполнение практической работы).

Слайд 2. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения. Многогранники: призма и пирамида. Тела вращения: цилиндр, конус, шар, тор. Схему учащиеся перечерчивают в рабочую тетрадь.

III. Объяснение нового материала

Слайд 3. Рассмотрим пирамиду. Записываем определение пирамиды. Вершина пирамиды – общая вершина всех граней, обозначается буквой S. Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды (Рис. 3).

Слайд 4. Правильная пирамида. Если основание пирамиды - правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания, то - пирамида правильная.
В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники.
Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется - апофема правильной пирамиды .

Слайд 5. Анимация построения правильной шестиугольной пирамиды с обозначением ее основных элементов (Рис. 4).

Слайд 6 . Записываем в тетрадь определение призмы. Призма – многогранник, у которого два основания (равные, параллельно расположенные многоугольники), а боковые грани параллелограммы. Призма может быть четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Призма называется по фигуре, лежащей в основании. Анимация построения правильной шестиугольной призмы с обозначением ее основных элементов (Рис. 5).

Слайд 7. Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Параллелепипед – правильная четырехугольная призма (Рис. 6).

Слайд 8. Куб – параллелепипед, все грани которого квадраты (Рис. 7).

(Дополнительный материал: на слайде есть гиперссылка на презентацию с развертками куба, всего 11 разных разверток).
Слайд 9. Записываем определение цилиндра.Тело вращения – цилиндр, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. Анимация получения цилиндра (Рис. 8).

Слайд 10. Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (Рис.9).

Слайд 11. Усеченный конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг оси, проходящей через ее высоту (Рис. 10).

Слайд 12. Шар – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, проходящей через его диаметр (Рис. 11).

Слайд 13. Тор – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, параллельной диаметру круга (Рис. 12).

Учащиеся записывают определения геометрических тел в тетрадь.

IV. Практическая работа«Построение чертежа правильной призмы»

Переключаемся на проект mimio

Лист 7 . Дана треугольная правильная призма. В основании лежит правильный треугольник. Высота призмы = 70 мм, а сторона основания = 40 мм. Рассматриваем призму (направление главного вида показано стрелкой), определяем плоские фигуры, который мы увидим на виде спереди, сверху и слева. Вытаскиваем изображения видов и расставляем на поле чертежа (Рис. 13).

Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж правильной шестиугольной призмы в программе «Компас – 3D». Размеры призмы: высота – 60 мм, диаметр описанной окружности вокруг основания – 50 мм.
Построение чертежа с вида сверху (Рис. 14).

Затем строится вид спереди (Рис. 15).

Затем строится вид слева и наносятся размеры (Рис. 16).

Работы проверяются и сохраняются на компьютерах учащимися.

V. Дополнительный материал по теме

Слайд 14 . Правильная усеченная пирамида (Рис. 17).

Слайд 15. Пирамида, усеченная наклонной плоскостью (Рис. 18).

Слайд 16. Развертка правильной треугольной пирамиды (Рис. 19).

Слайд 17. Развертка параллелепипеда (Рис. 20).

3 4 6 12 8 O h 3 5 12 30 20 I h Гексаэдр или куб 4 3 8 12 6 O h 5 3 20 30 12 I h

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".

Комбинаторные свойства

• Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением : В + Г = Р + 2.

• Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра - 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра - 4:1.

• Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p , q }, где: p - число сторон каждой грани; q - число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Многогранник		Вершины	Рёбра	Грани	Символ Шлефли
тетраэдр		4	6	4	{3, 3}
куб		8	12	6	{4, 3}
октаэдр		6	12	8	{3, 4}
додекаэдр		20	30	12	{5, 3}
икосаэдр		12	30	20	{3, 5}

Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

Геометрические свойства Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы , характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс :

где принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект при любой вершине правильного многогранника:

Многогранник	Двугранный угол θ		Плоский угол между рёбрами при вершине	Угловой дефект (δ)	Телесный угол при вершине (Ω)		Телесный угол, стягиваемый гранью
тетраэдр	70.53°		60°	π			π
куб	90°	1	90°
октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°
додекаэдр	116.57°		108°
икосаэдр	138.19°		60°, 108°

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
• Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной () и вписанной () сфер задаются формулами:

где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h - величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды , основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой - радиус вписанной сферы r:

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r )	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R )

Константы φ и ξ задаются выражениями

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.